Analogie raz jeszcze

Co może ucieszyć matematyka? Odkrycie nowego twierdzenia, zaskakująco prosty dowód… Urzekające są też analogie i możliwość ich dostrzegania. Zapraszam do lektury mojego zadziwienia. Tak, matematyka może zadziwić nawet osoby doświadczone. Otwórzmy się na jej piękno.


Analogie
© logopedarybka.pl

Czemu tytułowe raz jeszcze? Dwa lata temu napisałem tekst Analogie w rozumowaniu. Idea dzisiejszego artykułu nawiązuje do słowa analogia, ale jest nieco inna. Otóż niedawno spotkałem się z następującym zadaniem.

Zadanie. Udowodnić, że liczba $16^n-1+10n$ jest podzielna przez $25$.

Lubię zadania dotyczące podzielności rozwiązywać prosto, bez używania zasady indukcji matematycznej, którą to uważam za ostateczność i stosuję wtedy, gdy inne środki zawodzą. Zobaczmy, jakie rozwiązanie zaproponowałem.

Swoje rozumowanie oparłem na sumie początkowych wyrazów ciągu geometrycznego bądź (jak kto woli) na pewnej wersji wzoru skróconego mnożenia. Mianowicie $$16^n-1=(16-1)(16^{n-1}+16^{n-2}+\dots+16^2+16+1).$$ Stosując to do liczby wskazanej w zadaniu otrzymujemy $$16^n-1+10n=5\bigl(3(16^{n-1}+16^{n-2}+\dots+16^2+16+1)+2n\bigr).$$ Dlatego wystarczy sprawdzić, że liczba w nawiasie jest podzielna przez $5$. Jest tak w istocie, bo resztą z dzielenia $16$ przez $5$ jest $1$, a co za tym idzie, wszystkie potęgi liczby $16$ dają w dzieleniu przez $5$ resztę $1$. Dlatego suma $$16^{n-1}+16^{n-2}+\dots+16^2+16+1$$ zawierająca $n$ składników, ma tę samą resztę, jak $n$. Stąd już łatwo widzimy, że liczba $$3(16^{n-1}+16^{n-2}+\dots+16^2+16+1)+2n$$ daje w dzieleniu przez $5$ tę samą resztę, co $3n+2n=5n$, więc jest podzielna przez $5$.

Gdzie ta analogia? Wróćmy do liczby $16^{n-1}+16^{n-2}+\dots+16^2+16+1$. Przy dzieleniu przez $5$ daje ona tę samą resztę, co i $n$. Zapiszmy teraz inną liczbę: $$u=a_{n-1}\cdot 16^{n-1}+a_{n-2}\cdot 16^{n-2}+\dots+a_2\cdot 16^2+a_1\cdot 16+a_0\cdot 1,$$ gdzie $a_0,\dots,a_{n-1}\in\{0,\dots,15\}$ są cyframi liczby $u$ w zapisie szesnastkowym. Widać stąd, że liczba $u$ zapisana szesnastkowo daje tę samą resztę w dzieleniu przez $5$, co suma jej cyfr szesnastkowych. Polega to właśnie na resztach potęg liczby $16$ w dzieleniu przez $5$ (przypomnę, że wszystkie są jedynkami). Przy reszcie $0$ otrzymujemy cechę podzielności przez $5$ w układzie szesnastkowym.

Twierdzenie. Liczba naturalna jest podzielna przez $5$ wtedy i tylko wtedy, gdy suma jej cyfr szesnastkowych jest podzielna przez $5$.

Łatwo spostrzec, że powyższe tezy (dotyczące zarówno reszt, jak i cech podzielności) są też prawdziwe dla dzielenia (w układzie szesnastkowym) przez $3$, $5$ oraz $15$. W układzie dziesiątkowym zachodzą oczywiście dla dzielenia przez $3$ oraz $9$.

Kto chce głębszej analogii (tj. analogii z moją analogią), niech zauważy, że powyższe rozumowania przenoszą się bez zmian na układ o dowolnej podstawie $p$ i dzielenie przez $p-1$ i wszystkie dzielniki liczby $p-1$.

Otwórzmy się na piękno matematyki ciesząc się z umiejętności jej odkrywania w małych częściach. Te z kolei po zsumowaniu mogą stworzyć bardziej pokaźną całość. Kto ją skompletuje, może zostać matematykiem.

Dodaj komentarz