Całki dla leniwych

Pokażę dziś prosty sposób pozwalający na uniknięcie wykonywania obliczeń przy wyznaczaniu niektórych całek podwójnych. Jak wiemy, są to całki funkcji dwóch zmiennych, a obszarami całkowania są podzbiory płaszczyzny. Wyrażenie \[\iint_D f(x,y)\,\dd x\dd y\]jest więc całką podwójną funkcji $f(x,y)$ po obszarze $D$, gdzie $D$ jest podzbiorem płaszczyzny zwanym obszarem regularnym. Wiadomo, że pole obszaru $D$ ma wartość\[|D|=\iint_D\dd x\dd y.\]Jeśli $D$ jest obszarem jednorodnym, to współrzędne jego środka ciężkości obliczamy ze wzorów\[x_c=\frac{1}{|D|}\iint_D x\,\dd x\dd y\,,\quad y_c=\frac{1}{|D|}\iint_D y\,\dd x\dd y\,.\]Jeśli więc skądś znamy pole obszaru $D$ oraz współrzędne jego środka ciężkości, to łatwo wyznaczamy występujące powyżej całki:\[\iint_D x\,\dd x\dd y=x_c\cdot |D|\,,\quad \iint_D y\,\dd x\dd y=y_c\cdot |D|\,.\]Wyposażeni w tę wiedzę obliczymy teraz całkę\[I=\iint_D(9x-2y+4)\,\dd x\dd y\,,\]gdzie $D$ jest trójkątem o wierzchołkach $A(-1,2),B(0,0),C(3,1)$.

Trójkąt

Spoglądając na powyższy rysunek łatwo obliczyć pole trójkąta $D$ odejmując od pola prostokąta sumę pól trzech trójkątów prostokątnych. Mamy więc $|D|=\frac{7}{2}$.

Współrzędne środka ciężkości trójkąta są średnimi arytmetycznymi współrzędnych wierzchołków. Dlatego\[x_c=\frac{-1+0+3}{3}=\frac{2}{3}\,,\quad y_c=\frac{2+0+1}{3}=1\,.\]Teraz możemy już przystąpić do obliczenia naszej całki:\begin{multline*}I=9\iint_D x\,\dd x\dd y-2\iint_D y\,\dd x\dd y+4\iint_D\dd x\dd y=\\=9x_c\cdot|D|-2y_c\cdot|D|+4\cdot|D|=\frac{7}{2}\left(9\cdot\frac{2}{3}-2\cdot 1+4\right)=28.\end{multline*}Dla porównania zachęcam Czytelników do do obliczenia całki $I$ w tradycyjny sposób.

Opisany tutaj trick można zaadaptować i stosować do obliczania wszelkiego rodzaju całek: oznaczonych, podwójnych, potrójnych, krzywoliniowych czy powierzchniowych, byle tylko można było łatwo wyznaczyć współrzędne środka ciężkości oraz odpowiednią miarę (długość, pole, powierzchnię, objętość itp.) obiektu, po którym całkujemy.

Na zakończenie dodam, że łatwego uzasadnienia mojej metody dostarcza tzw. nierówność Hermite’a-Hadamarda w wersji dla funkcji wielu zmiennych. Ale to już temat na inny felieton.

2 komentarze

    1. Jeśli umiemy obliczać także momenty bezwładności, można metodę rozszerzyć na wielomiany dwóch zmiennych postaci $f(x,y)=a_1x^2+a_2y^2+a_3x+a_4y+a_5$.

Dodaj komentarz