Adepci matematyki często mówią: znam definicję, ale zupełnie nie wiem, jak ją zastosować. Prawdę mówiąc, albo wcale nie znają danego pojęcia, albo znają je formalnie, bardzo płytko. Poznając nowy materiał trzeba wykazać się aktywnym podejściem. Spróbować zrozumieć to, co dane pojęcie oznacza naprawdę. Dziś postaram się zilustrować drogę do lepszego zrozumienia logarytmu.
O zrozumieniu formalnym i dogłębnym pisałem w lutym 2016. Do napisania obecnego artykułu skłoniła mnie niedawna rozmowa ze studentami mojej uczelni. Lubię z nimi rozmawiać. Lubię, gdy profesor postrzegany jest nie jak osoba z wysoka, niedostępna, ale jako zwykły człowiek obiema nogami stąpający po ziemi, a od studentów różniący się jedynie doświadczeniem. Dlatego przed wykładem doszło do ciekawej wymiany zdań.
Dyskutowaliśmy o różnym tempie wzrostu funkcji do nieskończoności. Jednym z najwolniejszych wzrostów jest logarytmiczny. Otóż bezpośrednio z własności logarytmu (tu używam wyłącznie logarytmów dziesiętnych) mamy\[\lim\limits_{n\to\infty}\log 10^n=\lim\limits_{n\to\infty}n=+\infty.\]Tak więc wzrost logarytmiczny jest nieograniczony. A czemu jest tak wolny? Dlatego, że dziesięciokrotne zwiększenie liczby powoduje przyrost jej logarytmu zaledwie o $1$:\[\log 10x=\log 10+\log x=1+\log x.\]
Można to wytłumaczyć również inaczej. I tu dochodzimy do sedna sprawy. Spytałem studentów czy wiedzą, o czym informuje nas logarytm dziesiętny liczby. Otrzymałem odpowiedź prawdziwą, ale zupełnie bezużyteczną (tak jak w znanym matematykom dowcipie o pilotach balonu): logarytm dziesiętny liczby to wykładnik potęgi, do której należy podnieść $10$, aby otrzymać tę liczbę. Tak, to absolutna prawda. Jest to jednak tylko zrozumienie formalne.
Spróbowałem pewnej heurezy. Mianowicie $\log 10=1$, $\log 100=2$, $\log 1000=3$ itd. Pytam, co mówi nam logarytm. Nic nie mówi. No to pytam, ile mniej więcej wynosi $\log 1500$. Nieco ponad $3$. O czym więc mówi logarytm? O niczym. Zobaczmy więc, o czym mówi.
Jeśli\[10^{n-1}\xle x<10^n,\]to liczba całkowita $x$ ma w zapisie dziesiętnym $n$ cyfr. Zauważmy, że po zlogarytmowaniu tej nierówności otrzymujemy\[n-1\xle\log x< n,\]więc $\lfloor\log x\rfloor=n-1$, czyli $n=\lfloor\log x\rfloor+1$. Liczba $\lfloor a\rfloor$ oznacza tu największą liczbę całkowitą nie przekraczającą $a$ (tzw. część całkowitą lub inaczej cechę liczby $a$).
Dlatego logarytm liczby (dokładniej jego część całkowita powiększona o jeden) informuje nas o liczbie cyfr dziesiętnych liczby całkowitej $x$ (lub też o liczbie cyfr części całkowitej liczby dodatniej $x$). Stąd też, jeśli liczba zmierza do nieskończoności, to także liczba jej cyfr zmierza do nieskończoności. Ale dopisanie kolejnej cyfry (z lewej strony) oznacza co najmniej dziesięciokrotne powiększenie liczby, stąd też wzrost logarytmiczny jest bardzo wolny.
Oczekiwałem odpowiedzi takiej jak powyższa, przeliczyłem się. Szkoda, że programy szkolne nie zachęcają do refleksji nad nowo poznanymi pojęciami i ich znaczeniem. Logarytm jest logarytmem i logarytmem pozostanie. A liczba cyfr… niech sobie będzie. Szkoda, że obiekty matematyczne traktuje się jak oddzielne planety. Mają swoje orbity, a ich przecięcie się jest niezmiernie mało prawdopodobne. Szkoda. Matematyka jest jedna. Wszystkie jej dziedziny jakoś na siebie oddziałują, narzędzia jednej bywają użyteczne w drugiej. Szkoda. A potem wrażenie, że matematycy reprezentujący różne dziedziny królowej nauk mogą rozmawiać tylko o pogodzie.
Warto też wspomnieć o tym, że logarytmy (ale to kiedyś) niesamowicie ułatwiły życie wszystkim tym, którzy musieli wykonywać mnożenie (a zwłaszcza dzielenie) liczb. Mozolne operacje mogły być zastąpione dodawaniem/odejmowaniem liczb (po skorzystaniu z tablic logarytmicznych lub z nieco mniej dokładnego suwaka logarytmicznego).
Ciekawa jest też historia tablic logarytmicznych — były one liczone przez „ludzkie komputery”. I mimo, że zwykle obliczenia były dublowane, zdarzały się błędy. W XIX wieku porównano wiele wydań tablic i stwierdzono, że niektóre błędy powtarzają się. Wobec braku innych sposobów rachowania stanowiło to bardzo poważny problem na przykład podczas obliczeń niezbędnych do wytyczenia kursu statku. W takim przypadku błąd mógł oznaczać katastrofę, śmierć ludzi i stratę ładunku.
I gdzieś w XIX wieku, Charles Babbage wpadł na pomysł skonstruowania maszyny różnicowej, której głównym celem było wyliczanie wartości funkcji używając metody interpolacji. Rząd brytyjski przez wiele lat sponsorował starania Babbage’a ale nie doczekał się maszyny. Została ona zrealizowana dopiero na początku XXI wieku.
Kolejny pomysł Babbage’a — maszyna analityczne byłaby równoważna (w sensie Turinga) współczesnym komputerom. Ale to już zupełnie inna historia.
Jak zwykle Twój komentarz daje mojemu wpisowi nowe życie. Opowiedziałeś bardzo interesującą historię. Serdecznie dziękuję.
Mnie bardzo zdziwił i zainteresował ten suwak walcowy. Używano go w bardzo przydatnym celu. A co do ludzkich komputerów, Ulam w ,,Przygodach matematyka” opowiada o swoich pracach z Everettem. Obliczenia z zakresu analizy numerycznej prowadził zastęp rachmistrzyń. Sam Everett był niezmiernie dokładny i umiał je (sekretarki czy obliczenia — do wyboru) kontrolować.
Nigdy w ten sposób nie myślałam o logarytmie dziesiętnym, dlatego ten wpis mnie miło zaskoczył. Właśnie.. Z jednej strony miło zaskoczył takim ciekawym odkryciem, a z drugiej strony zaniepokoił tym, że faktycznie nauka szkolna często (na pewno nie zawsze, gdyż w dużej mierze zależy to od nauczyciela) jest schematyczna i nastawiona na przyswajanie wiedzy. Za mało natomiast w niej kreatywności i poszukiwania.. Brakuje w niej czegoś, co nazwałabym twórczością. Zdaje sobie sprawę, że szkoła i poniekąd studia również nauczyły mnie takiego właśnie nastawienie odtwórczego, a nie twórczego. Jednak moim zdaniem można nieco nauczyć się takiego twórczego nastawienienia. Na pewno pomaga w tym zadawanie sobie przy nauce dużej ilości pytań. To zawsze staram się robić, by mój umysł był otwarty, a nie kroczył wydeptana już przez siebie ścieżką.
Znów trafna diagnoza. Myślenie odtwórcze. Brak kreatywności. Niestety, w szkole dużo Gombrowicza. Ja też czegoś się od Ciebie nauczyłem: moje oczekiwania były wygórowane. Wydawało mi się, że ta interpretacja z liczbą cyfr jest tak oczywista, że wystarczy tylko odpowiedzieć na zadane pytanie w duchu zżymając się, jak można pytać o tak proste rzeczy (przecież to nie jest zbyt taktowne). Ale nie przejmuję się, bo trzeba mierzyć w górę. Skoro to jednak nie takie namacalne, warto mówić i o tym.
Ja rozumiem granice na lekcjach, jednak gdy przychodzi kartkówka i pojawiają się zadania z różnymi rodzajami granic, to nigdy nie wiem co gdzie obliczyć i gdzie ma wyjść rzeczywista liczba, a gdzie nieskończoność :/
Aby doskonalić jakąś umiejętność, potrzeba stałego treningu. Gdy go brak, resztki tego, co jeszcze posiadasz, szybko giną w morzu niepamięci. W matematyce nie ma gotowych przepisów, jest za to studium przypadków. Coś takiego już kiedyś robiłem. W jakiejś książce o tym czytałem. Sięgam do starych notatek lub do odpowiedniej książki i wiem. To wszystko wynika z doświadczenia. Jak powiedział ktoś mądry, doświadczenia nie można się nauczyć, je się zdobywa. Czasem trwającym całe lata mozolnym wysiłkiem. Polecam artykuł o nieco przewrotnym tytule Dlaczego nigdy nie będziesz matematykiem? Nie chcę zostać źle zrozumiany — tytuł nie odnosi się do nikogo konkretnego, raczej odzwierciedla pewne postawy.