Czemu minusy się znoszą

Jedną z matematycznych prawd, w które wszyscy wierzymy, jest $-(-1)=1$. Czy rzeczywiście jest to fakt do przyjęcia na wiarę, czy też można go jakoś uzasadnić? Okazuje się, że zachodzi druga możliwość. Dlaczego?

Zbiór liczb rzeczywistych wraz z działaniem dodawania tworzy grupę. Wspomniany powyżej fakt wynika z aksjomatów grupy. W szczególności postuluje się, że dla każdego $a\in\RR$ istnieje liczba $b\in\RR$ taka, że $a+b=b+a=0$. Tę właśnie liczbę $b$ nazywamy elementem przeciwnym do $a$ i oznaczamy przez $-a$. Jest on wyznaczony jednoznacznie, co łatwo wykazać (pozostawiam to zainteresowanym). Z powyższej równości wynika też, że jeśli $b$ jest elementem przeciwnym do $a$, to równocześnie $a$ jest elementem przeciwnym do $b$. Biorąc teraz $a=-1$ oraz $b=1$, otrzymujemy, że $(-1)+1=0$. Ale skoro $b=-a$, to $1=-(-1)$.

Można by jeszcze zapytać, czemu $(-1)\cdot(-1)=1$. To nieco inny od powyższego problem. Tam rozważano kwestię elementu przeciwnego do $-1$, tutaj mówi się o mnożeniu liczby $-1$ przez siebie. Pokażę, że wszystko wynika z prawa rozdzielności mnożenia względem dodawania, które postulowane jest aksjomatem ciała. A zbiór $\RR$ wraz z działaniami dodawania i mnożenia tworzy ciało. Sprawdzimy poniżej, że $(-1)\cdot a=-a$ dla każdego $a\in\RR$. Istotnie, z prawa rozdzielności mnożenia względem dodawania wynika, że $a+(-1)\cdot a=a\bigl(1+(-1)\bigr)=a\cdot 0=0$. Wobec tego, co powiedziano powyżej o elementach przeciwnych, mamy więc $-a=(-1)\cdot a$. Dla $a=-1$ otrzymujemy stąd $(-1)\cdot(-1)=-(-1)=1$.

Dlaczego $a\cdot 0=0$? To już proste: $a\cdot 0=a\cdot(0+0)=a\cdot 0+a\cdot 0$ i dodając obustronnie $-(a\cdot 0)$ mamy $a\cdot 0=0$. Sama równość $0+0=0$ jest konsekwencją tego, że $0$ jest elementem neutralnym dodawania.

2 komentarze

  1. O jakiej drugiej możliwości wspominać ma artykuł? Czy mowa o drugiej możliwości znoszenia się minusów podczas mnożenia dwóch minus jedynek?

    1. W pierwszym akapicie napisałem, że albo to przyjąć na wiarę, albo uzasadnić. Otóż da się uzasadnić i to jest ta druga możliwość. Figura stylistyczna i nic więcej. 🙂

Dodaj komentarz