Czy całka nieoznaczona zależy od sposobu jej obliczania?

Często jedną całkę nieoznaczoną można obliczyć różnymi metodami. Jest tak m. in. z całką
\[
\I=\int\frac{\tg x}{\cos^2 x}\dx\,.
\]

  1. Zapisując $\tg x=\dfrac{\sin x}{\cos x}$ otrzymujemy
    \[
    \I=\int\frac{\sin x}{\cos^3 x}\dx\,.
    \]
    Podstawiamy $\cos x=t$, skąd $-\sin x\dx=\dt$ oraz
    \[
    \I=\int\frac{-\dt}{t^3}=\frac{1}{2t^2}+C=\frac{1}{2\cos^2 x}+C\,.
    \]
  2. Podstawmy inaczej: $\tg x=t$, skąd $\dfrac{\dx}{\cos^2 x}=\dt$. Teraz dochodzimy do postaci
    \[
    \I=\int t\dt=\frac{1}{2}t^2+D=\frac{1}{2}\tg^2 x+D\,.
    \]

Otrzymane obiema metodami całki nie wyglądają identycznie. Czy wobec tego całka zależy od sposobu jej obliczania? Gdzie jest błąd? Która metoda jest poprawna, a która zła?

A może obie postaci są zwyczajnie identyczne? Mamy
\[
\frac{1}{\cos^2 x}=\frac{\sin^2 x+\cos^2 x}{\cos^2 x}=\tg^2 x+1\,,
\]
więc nie. Ale obie funkcje różnią się tylko o stałą. Tak więc
\[
\frac{1}{2\cos^2 x}+C=\frac{1}{2}(\tg^2 x+1)+C=\frac{1}{2}\tg^2 x+\frac{1}{2}+C\,.
\]
Przyjmując tu $D=C+\dfrac{1}{2}$ widzimy, że obie postaci opisują tę samą całkę nieoznaczoną. Całka nieoznaczona funkcji $f$ jest zbiorem wszystkich funkcji pierwotnych dla funkcji $f$. A dowolne dwie funkcje pierwotne tej samej funkcji różnią się co najwyżej o stałą. Dlatego obie metody są poprawne. Całka nieoznaczona nie zależy od sposobu jej obliczania.

Zapraszam do znajdowania podobnych przykładów. Można się nimi podzielić w komentarzach.

12 komentarzy

    1. Cała klasę takich przykładów dostajemy całkując funkcje typu $\dfrac{1}{\sin x+a\cos x}$ na dwa sposoby: raz podstawieniem standardowym, drugi raz korzystając z faktu, że $\sin x+a\cos x=p\sin(x+q)$ dla pewnych $p$ i $q$.

    1. Obawiam się, że w obu przypadkach dochodzimy do identycznej funkcji pierwotnej, a różnice pojawiają się na poziomie nowej zmiennej: raz będzie $\dfrac{1}{2}\ln|1+t|+C$, a drugi raz $\dfrac{1}{2}\ln|t|+C$, co po powrocie do starej zmiennej da nam $\dfrac{1}{2}\ln(1+x^2)+C$.

        1. Niemniej jednak nie każdy zna takie przykłady i warto je pokazywać. To jest jeden z celów prowadzenia tego bloga. Dziękuję za Twoje komentarze. Jesteś pierwszą osobą, która skomentowała posty po migracji bloga na platformę WordPress.

  1. Moim ulubionym przykładem tego typu jest całka

    \[
    \int \sin x\cos x \dx\,.
    \]

    Można ją obliczyć na wiele sposobów:

    1. Całkowanie przez części (zapętlanie) – różniczkujemy sinusa.
    2. Całkowanie przez części (zapętlanie) – różniczkujemy cosinusa.
    3. Wykorzystanie wzoru na sinus kąta podwojonego.
    4. Wykorzystanie wzoru na sumę sinusów.
    5. Podstawienie za cosinusa.
    6. Podstawienie za sinusa.

    Nie sprawdzałem dokładnie, ale podejrzewam, że każde z powyższych produkuje nieco różne postaci tego samego wyniku.

    1. Metody 1,2 dają odpowiednio (bez pisania stałych całkowania) $-\frac{1}{2}\cos^2 x$ oraz $\frac{1}{2}\sin^2 x$. Identycznie wychodzą metody 5,6. Metoda 3 – zależy od sposobu przekształcania: $-\frac{1}{4}+\frac{1}{2}\sin^2 x$ bądź $\frac{1}{4}-\frac{1}{2}\cos^2 x$, albo też $-\frac{1}{4}(\cos^2 x-\sin^2 x)$. W metodzie 4, jeśli myślisz o wzorze $\sin\alpha\cos\beta=\frac{1}{2}\bigl(\sin(\alpha-\beta)+\sin(\alpha+\beta)\bigr)$, to dostajemy bezpośrednio metodę 3 (dla $\alpha=\beta=x$).

      Dziękuję za komentarz – tu rzeczywiście mamy kilka możliwości.

Dodaj komentarz