Czy we Francji znają deltę?

Jednym z moich ulubionych powiedzonek jest, że ze szkoły średniej uczeń wychodzi wybitnym specjalistą od trójmianu kwadratowego i… od niczego więcej. Jak więc nie będąc takim specjalistą rozwiązać równanie kwadratowe? Zapraszam do lektury.

Czy we Francji znają deltę?

Wczoraj na ćwiczeniach z matematyki poleciłem studentom narysować wykres funkcji kwadratowej. Pytam jak to się robi. Pierwsza odpowiedź: trzeba wyliczyć deltę. I komentarz z sali: jeśli nie wiesz co zrobić, wylicz deltę. Trójmian kwadratowy niemal zawsze z nią się kojarzy. Efekt schematycznego nauczania w szkole średniej.

Kiedyś gdzieś przeczytałem, że we Francji rozwiązuje się równania kwadratowe bez używania osławionej delty. Czy to w ogóle możliwe? Okazuje się, że tak. Rozpocznijmy od konkretnego przykładu. Rozwiążemy równanie\[x^2-6x-16=0.\]Zauważmy, że możemy skorzystać ze wzoru skróconego mnożenia:\[(x^2-2\cdot 3x+3^2)-25=0,\]czyli\[(x-3)^2=25.\]Teraz już łatwo stwierdzamy, że $x-3=-5$ lub $x-3=5$, więc $x=-2$ lub $x=8$ i nasze równanie ma dwa rozwiązania. Tak więc równanie kwadratowe można rozwiązać odwołując się do postaci kanonicznej trójmianu kwadratowego.

Przejdźmy do sytuacji ogólnej. Mamy rozwiązać równanie kwadratowe postaci\[ax^2+bx+c=0,\]gdzie $a\ne 0$ (inaczej będziemy mieli równanie liniowe). Najpierw dzielimy obie strony równania przez $a$:\[x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0.\]Teraz przygotowujemy się do zastosowania wzoru skróconego mnożenia odpowiednio zapisując to równanie:\[\biggl(x^2+2\cdot\frac{b}{2a}x+\Bigl(\frac{b}{2a}\Bigr)^2\biggr)-\Bigl(\frac{b}{2a}\Bigr)^2+\frac{c}{a}=0.\]W nawiasie występuje kwadrat sumy. Wyrażanie poza nawiasem lekko przekształcimy:\[\biggl(x+\frac{b}{2a}\biggr)^2-\frac{b^2}{4a^2}+\frac{c}{a}=0.\]Przenosimy wyrażenia nie zawierające $x$ na prawą stronę:\[\biggl(x+\frac{b}{2a}\biggr)^2=\frac{b^2}{4a^2}-\frac{c}{a}\]i po sprowadzeniu do wspólnego mianownika otrzymujemy\[\biggl(x+\frac{b}{2a}\biggr)^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}.\]Mianownik po prawej stronie jest dodatni. Dlatego liczba pierwiastków równania zależy od znaku wyrażenia $b^2-4ac$ dla uproszczenia (żeby za dużo nie pisać) oznaczanego $\Delta$ i nazywanego wyróżnikiem. Teraz jest już z górki. Jeśli $\Delta<0$, to równanie jest sprzeczne, gdyż kwadrat (po lewej stronie) nie może być liczbą ujemną. Jeśli $\Delta=0$, to równanie ma postać\[\biggl(x+\frac{b}{2a}\biggr)^2=0,\]a jedyną liczbą, która po podniesieniu do kwadratu jest zerem, jest zero. Dlatego\[x+\frac{b}{2a}=0\]czyli \[x=-\frac{b}{2a}\]jest jedynym rozwiązaniem równania. W wielkim uproszczeniu powiem, występującemu tu kwadratowi przyrównanemu do zera zawdzięczamy nazwę pierwiastek dwukrotny. Jeśli natomiast $\Delta>0$, to po prawej stronie równania mamy liczbę dodatnią, którą można pierwiastkować:\[\biggl(x+\frac{b}{2a}\biggr)^2=\frac{\Delta}{4a^2},\]skąd\[\biggl(x+\frac{b}{2a}\biggr)^2=\frac{\bigl(\sqrt{\Delta}\bigr)^2}{(2a)^2},\]więc\[x+\frac{b}{2a}=-\frac{\sqrt{\Delta}}{2a}\quad\text{lub}\quad x+\frac{b}{2a}=\frac{\sqrt{\Delta}}{2a}\](tu kryje się pewien niuans, Czytelnik zgadnie jaki) i przenosząc ułamek $\frac{b}{2a}$ na prawą stronę dochodzimy do doskonale znanych wzorów na dwa pierwiastki równania kwadratowego $ax^2+bx+c=0$:\[x=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\quad\text{lub}\quad x=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a},\]gdzie oczywiście $\Delta=b^2-4ac$.

Powyższy artykuł pokazuje moje spojrzenie na deltę. Sądzę, że jest to tylko wygodne uproszczenie notacji, a nie obiekt nieodrodnie związany z trójmianem kwadratowym. Francuzi nie muszą więc jej znać. A matematyk jest człowiekiem leniwym. Nie będzie przeciążał sobie głowy zbędnymi wzorami, jeśli potrafi do rozwiązania dojść inaczej, w prosty sposób.

4 komentarze

  1. Czyli że Francuzi za każdym podejściem odkrywają wzory na pierwiastki trójmianu… Ciekaw jestem, czy pole trójkąta też liczą dokładając drugi i zamieniając równoległobok na prostokąt 🙂

    Cóż, prawda jest taka, że (moim zdaniem) część nawet tej poważnej matematyki sprowadza się do równań kwadratowych (patrz klasyczny dowód nierówności Cauchyego-Schwarza) a w praktyce studenckiej ta część jest całkiem znaczna. I jeżeli czegoś się nauczyliśmy, to warto tego używać. Ale z sensem….

    Część moich studentów tak rozwiązuje równanie $x^2+5x+\Delta=0$:

    \begin{align}\Delta&=25-4\Delta\\
    5\Delta&=25\\
    \Delta&=5\\
    &\ldots\end{align}

  2. Dowcipniś z Pana… Czytelnik ma nadzieje, że będzie po francusku: ze ślimakami, bagietką, ale bez delty, a tymczasem na końcu delta i tak się pojawia – wprawdzie jako przydatne uproszczenie, ale jednak.

    A wracając do pierwszego zdania Pańskiego artykułu. W dobie reform, zmian podstaw programowych i programów bardzo chętnie bym przeczytał, jak wyobraża sobie Pan treści nauczania matematyki w szkołach średnich. Jeśli nie specjalistą od trójmianu, to kim – dla matematyka – powinien być absolwent szkoły średniej?
    Może to temat na osobny wpis?

    Pozdrawiam serdecznie

    1. Szanowny Panie Rafale,

      Bardzo dziękuję za miły komentarz. Dodał Pan mojemu tekstowi dramatyzmu, akcji.

      Dziś miałem korepetycje ze studentem. Przygotowanie do kolokwium z granic i pochodnych z zastosowaniami. Chłopak zdał na maturze zakres podstawowy. Nie ma pojęcia o wykresach funkcji elementarnych, przez co nie umie obliczyć najprostszych granic funkcji wykładniczych. Ponieważ w e-Trapezie nie miał wykresów funkcji trygonometrycznych, to ich nie zna. Czego spodziewam się od absolwenta szkoły średniej? Ogólnego wykształcenia, obycia w kulturze, sztuce i nauce. Znajomości najnowszych trendów. Oczywiście pobieżnej, po prostu wiedzy co się teraz bada. Oczytania. Kiedyś na wykładzie parafrazowałem znanego dramatopisarza. W sytuacji, kiedy dalsze rachunki były już bardzo proste, powiedziałem: reszta jest liczeniem. Spytałem, kto to napisał? Oczywiście nikt, ale widownia nawet nie wyczuła, że to nawiązanie do… 🙂 Sprytnie uciekłem od matematyki? Nie. Od absolwenta szkoły średniej spodziewam się umiejętności rachunkowych, sprawnego szacowania wyników działań arytmetycznych tak, żeby nie zostać oszukanym w sklepie. Chciałbym, żeby uczeń wiedział, kim byli Gauss i Stefan Banach. A jeśli młody człowiek podejmie studia związane z użytkowaniem matematyki (inżynier, ekonomista, informatyk), po szkole średniej powinien znać funkcje elementarne, umieć rozwiązywać równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne, znać funkcje trygonometryczne (nie tylko kąta ostrego w trójkącie prostokątnym). Ale proza życia jest inna: kandydaci na inżynierów nie potrafią przenieść niewiadomej z jednej strony równania na drugą.

      Spodziewam się więc… totalnej reformy programów nauczana i powrotu do starych dobrych czasów, kiedy po LO (klasa biologiczno-chemiczna) dobrze znałem ten materiał, jaki teraz wykładam na pierwszym semestrze Mechaniki i Budowy Maszyn.

      Odwzajemniam serdeczne pozdrowienia.

Dodaj komentarz