Czy znów za rok matura?

Początek maja jest dla uczniów ostatnich klas szkół średnich gorącym okresem. Wszyscy wiemy dlaczego — kwitną kasztany i mamy matury. W tym roku postanowiłem opublikować swoje wersje rozwiązań zadań maturalnych z obu poziomów — podstawowego i rozszerzonego. Tutaj chcę się podzielić uwagami o wybranych zadaniach. Zapraszam do lektury.

Matura 2018

Zacznę od podania linków do moich rozwiązań:

Poziom podstawowy

Tegoroczne zadania były raczej łatwe do rozwiązania. Pierwsze cztery sprawdzają wiedzę o potęgach, logarytmach i procentach. To zmora współczesnych uczniów, a jakże potrzeba tych rzeczy i podczas studiów, i w życiu codziennym.

Widząc zadanie 6 przeraziłem się. To takie pytanie z Teleranka (ale z lat 70–tych ubiegłego stulecia): Po stawie pływa, kaczka się nazywa, co to za ptak? Trójmian kwadratowy w postaci iloczynowej, odgadnięcie miejsc zerowych jest sprawą aż nadto oczywistą. Ale trzeba na czymś zdobywać punkty. Ciekaw jestem, ile osób wymnożyło ten trójmian, sprawdziło, że $\Delta>0$ i zastosowało wzory Viete’a. To oczywiście strzał z armaty do… muchy.

Zadanie 8 wydaje się potrzebne, bo wielu uczniów ma ogromny kłopot z układem współrzędnych i wykresami funkcji. Co to jest miejsce zerowe, jak je zaznaczyć, jaki jest punkt przecięcia wykresu funkcji z osią rzędnych — kosmos spoza Układu Słonecznego. Podobna uwaga odnosi się do zadania 10.

Zadanie 16 wymaga odrobiny wiedzy teoretycznej, ale twierdzenie o kątach środkowym i wpisanym opartych na tym samym łuku znajduje się w ministerialnej ściągawce dostępnej podczas egzaminu.

Mile powitałem zadanie 23 polegające na wyznaczeniu odchylenia standardowego pewnego zestawu danych. Pozornie zależy ono od liczby danych, co może być nieco mylące. Ale zadanie rozwiązuje się łatwo.

Zadanie 25 przeraziło mnie tak samo jak omawiane już zadanie 6, znów Teleranek. Mamy 50 kuponów, wśród których jest 15 przegrywających i jaka jest szansa wygrania. Czy ten poziom nie jest znacznie niższy niż podstawowy? Odpowiednią intuicję w tej kwestii ma chyba każdy z nas.

Rozwiązywanie równań wielomianowych i nierówności kwadratowych to standard i nie dziwią poświęcone temu zadania otwarte. Ciekawe natomiast (ze względu na być może niedostrzegalny dla każdego ucznia) ze względu na szerszy kontekst jest zadanie 28, w którym pokazano nierówność pomiędzy średnimi arytmetyczną i harmoniczną. Tutaj przypomnę tzw. nierówność AGH, tzn. nierówność między średnimi arytmetyczną, geometryczną oraz harmoniczną. Niech więc $a,b$ będą liczbami dodatnimi. Wtedy zachodzi nierówność\[\frac{a+b}{2}\xge\sqrt{ab}\xge\frac{1}{\tfrac{\tfrac{1}{a}+\tfrac{1}{b}}{2}}.\]W kursie analizy matematycznej wynikają one łatwo z wypukłości pewnych funkcji i z nierówności Jensena. Ale tutaj do dowodu wystarczą zwykłe przekształcenia algebraiczne połączone ze znajomością wzorów skróconego mnożenia. Zapraszam do udowodnienia tych nierówności.

Zadania z geometrii analitycznej wymagające napisania równania prostej rozwiązuje się szybko, jeśli zna się dobry sposób napisania takiego równania. Można to (bardzo kulawo) zrobić przez układ równań. Jednak jest bardzo prosty do zapamiętania wzór. Otóż pęk prostych przechodzących przez punkt $A(x_A,y_A)$ ma równanie\[y-y_A=a(x-x_A).\] Jeśli weźmiemy jeszcze punkt $B(x_B,y_B)$, to prosta przechodząca przez punkty $A,B$ ma równanie\[y-y_A=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}(x-x_A).\] Stąd, jeśli $A(4,3)$ i $B(10,5)$, to prosta $AB$ ma równanie\[y-3=\frac{5-3}{10-4}(x-4),\]czyli\[y=\frac{1}{3}x+\frac{5}{3}.\]Ten dwie powyższe postaci równania prostej (pęk i prosta przechodząca przez dwa punkty) stosuję we wszystkich swoich rozwiązaniach.

Nieco mylące może być ostatnie zadanie 34, gdyż podstawą graniastosłupa prawidłowego trójkątnego jest trójkąt równoboczny, a tego na rysunku nie widać. Sam musiałem sprawdzić swoją wiedzę o graniastosłupach prawidłowych.

Poziom rozszerzony

W pierwszym czytaniu tematów zadań z poziomu rozszerzonego odniosłem wrażenie, że są bardzo trudne i mało kto zda maturę. Po rozwiązaniu zadań nieco ten pogląd zmieniłem. Niektóre zadania są rzeczywiście trudne, a inne łatwe teoretycznie, ale trudne w realizacji rachunkowej. Po prostu aby zdać maturę, potrzeba długiego treningu i sporego doświadczenia w rozwiązywaniu tego typu zadań.

Już w drugim zadaniu pojawia się wartość bezwzględna. Studenci pierwszych lat bardzo jej nie lubią i na ogół popełniają sporo błędów w równaniach i nierównościach modułowych (moduł to inaczej wartość bezwzględna).

Rozszerzenie zobowiązuje. Uczeń musi mieć znacznie większą wiedzę teoretyczną niż ten, który zdaje podstawę. Funkcje homograficzne, trygonometria, pochodna wraz z jej interpretacją geometryczną, optymalizacja (czyli znajdowanie ekstremów) itp.

Za trudne uważam zadanie 8 dotyczące podzielności. To, co zauważyłem na początku, obejmuje właśnie doświadczenie. Eksperci jednego z portali zaproponowali tu inne rozwiązanie analizujące wiele przypadków. Udało mi się podać rozwiązanie zwięzłe, ale chyba dostępne uczniowi.

Dość zawiłe rachunkowo jest zadanie 12, gdzie należało zapisać sumę sześcianów dwóch liczb w zależności od sumy i iloczynu tych liczb tak, aby dało się zastosować wzory Viete’a. Sądzę, że suma kwadratów byłaby wystarczająca. Pamiętajmy, że uczeń działa w stresie i długie przekształcenia będą generować błędy.

Zadanie 14 dotyczy geometrii analitycznej. Ta jak mało co uczy układania sensownego planu rozwiązania. Nie ma tu jakichś niezmiernie trudnych zagadnień teoretycznych, ale wszystko trzeba robić we właściwej kolejności. Co więcej, trzeba dobrze odczytać temat zadania. Początkowo pomyliłem się i za równe uznałem boki $AB$ i $AC$ trójkąta $ABC$. Rozwiązałem zadanie, ale otrzymane współrzędne były tak koszmarne, że zwątpiłem i raz jeszcze przeczytałem treść zadania.

Ostatnie zadanie dotyczy i geometrii, i optymalizacji. Tutaj zawsze pojawiają się ograniczenia, dlatego za najwartościowszy element zadania uważam punkt a). Kto wie czy nie dodam tego zadania do swojego repertuaru ćwiczeniowego dla studentów.

Uwagi ogólne

W poprzednich latach pojawiały się zadania niewłaściwie sformułowane. W tym roku sformułowanie wszystkich zadań jest właściwe, co dowodzi staranności autorów.

W zeszłym roku rozwiązywałem zestawy maturalne na czas. Po skończeniu pracy czułem się tak zdenerwowany, że do właściwej kondycji psychicznej dochodziłem przez kolejne pół dnia. To obrazuje pewne zjawisko. Gdybym teraz, z całą swoją wiedzą, z całym swoim doświadczeniem, zasiadł na sali egzaminacyjnej i zdawał maturę, w żaden sposób nie byłbym uprzywilejowany. Stres zabija. Sądzę, że zestawu z rozszerzenia nie rozwiązałbym w regulaminowym czasie. Tak było podczas moich studiów. Gdy znajdowałem się w niedoczasie, następowała blokada psychiczna i często rozwiązywałem tylko połowę zadań. Na szczęście moi nauczyciele byli rozważni i wiedzieli o moim stresie. Więc mimo kiepskich ocen z kolokwiów, zawsze miałem czwórki i piątki na zaliczenie. Występy przy tablicy i odpowiedzi ustne robiły swoje.

Niektórzy uważają, że matura sprawdza również odporność na stres. Wiele w tym racji. Ale i tak nie jestem do końca pewien czy na maturze potrzeba aż tyle zadań. To jednak kwestia osobistych zapatrywań.

4 komentarze

  1. Ja większość zadań rozwiązałem w 1,5h, ale co z tego, bo jak zobaczyłem, że kilka zadań jest bardzo skomplikowanych i trzeba je od nowa przemyśleć, bo nie było w szkole/ podczas ćwiczeń zadań analogicznych to po prostu zacząlem popełniać błędy w prostych zadaniach. Na skutek czego i zabrakło czasu na zadania trudne by wszystko zrobić/ zauważyć oraz punkty poleciały w łatwych. Jak dla mnie to za dużo było zadań, które nie przypominały w żaden sposób tych z poprzednich lat. Funkcja kwadratowa akurat to było 1 zadanie otwarte, które zrobiłem, bo kilkanaście jak nie kilkadziesiąt przerobiłem przed maturą. Szkoda geometrii analitycznej, bo takich zadań się nie robi w liceum, przynajmniej w 3 zbiorach i wszystkich maturach nie spotkałem się, a dało się rozwiązać jak sprawdziłem dzień później, w 7 minut.

    1. Trzymam kciuki za Twój wynik. Tak jak napisałem. Stres nie jest najlepszym doradcą. Słaby wynik w stresie nie przesądza o tym co naprawdę umiesz. A nauka radzenia sobie ze stresem przyjdzie w pierwszej pracy. Ma maturze to nie za dobry pomysł.

    1. Informacja już nieaktualna. Poprawiłem. Dziękuję za czujność. Pomyłka w komendzie LaTeX-a. 🙂

Dodaj komentarz