Dwie planety

Są ludzie doświadczeni i są adepci. Każdy kiedyś był początkującym. Ja też stawiałem nieporadne kroki, przewracałem się, upadałem, ale się podnosiłem. Z czasem upadałem coraz mniej, aż wreszcie doszedłem do perfekcji. Czy w chodzeniu? Tak. Ale też w niektórych działach mojej dziedziny — matematyki.

Dwie planety

Kiedyś pisałem o kulturze matematycznej. Każdy użytkownik matematyki musi się jej nauczyć. Młodzi studenci czasem ją mają, ale czasem nie. Niedawno na forum matematyka.pl pomagałem jednemu z nich w odkrywaniu prawd o przestrzeniach liniowych. Chłopak inteligentny, otwarty na wiedzę. Nie jest leniem, który spodziewa się, że wszystko poda mu się na tacy. Ale bez dobrego mentora ma kłopoty. Czemu? Może dlatego, że to my, nauczyciele akademiccy, czasem niezbyt dobrze wykładamy. Staramy się mówić precyzyjnym językiem matematyki, a student oczekuje prostoty, odwołania do swojego, małego ale własnego, doświadczenia.

Opisywany student upada, ale stara się wstać, zrozumieć. Przedstawię niektóre szczegóły tych wywrotek. Do zrobienia było następujące ćwiczenie:

Niech $(\alpha_{1},\dots,\alpha_{k})$ będzie liniowo niezależnym układem wektorów przestrzeni liniowej $V$ i niech $\beta \in V$. Wykazać, że jeśli $\beta \in \text{lin}\left(\alpha _{1},\dots,\alpha_{k}\right)$, to układ $(\alpha_{1},\dots,\alpha_{k},\beta)$ jest liniowo zależny.

Na to student:

Próbuję tak:\[\beta= \sum_{i=1}^{k}a _{i}\alpha _{i}.\]Zatem mamy:\[b _{1}\alpha _{1}+\dots+b _{k}\alpha _{k}+\beta _{k+1}\left( a _{1}\alpha _{1}+\dots+a _{k}\alpha _{k} \right)=0.\]I trzeba tu wykazać, że nie wszystkie współczynniki $b_{i}$ są równe zero. Ale jednak nie wiem jak to zrobić. I nie wiem czy ta droga jest w ogóle dobra.

Coś dzwoniło, ale nie w tym kościele. Student rzeczywiście zna definicję liniowej zależności układu wektorów. Ale cóż z tego, jeśli nie umie jej prosto zastosować? Rozwiązanie tkwi zaraz w pierwszym równaniu. Trzeba zapisać\[\beta-\sum_{i=1}^{k}a _{i}\alpha _{i}=0.\] Podpowiedziałem to z pewną humorystyczną, ale ciepłą uwagą:

Pierwszy wzór jest najważniejszy. Przenieś wszystko na lewo. Który współczynnik na pewno nie jest zerem?

Wy, studenci, macie wspaniały talent do doskonałego skomplikowania rzeczy najprostszych. Ale druga prawda jest taka, że aby widzieć prostotę, trzeba doświadczenia. Wczoraj napisałem żonie w kilka sekund rozwiązanie pewnego zadania z forum. Pyta: skąd ty to wiesz? Niby napisałeś, a dla mnie to czarna magia. Z doświadczenia — mówię.

Student odpowiada:

Czyli mówisz, żebym się popatrzał na to:\[\beta-a _{1}\alpha _{1}-\dots-a _{k}\alpha _{k}=0.\]Tylko nie wiem, który współczynnik będzie różny od zera, $\beta$?

Chyba wystąpił tu niezawiniony brak umiejętności obserwacji. Przecież mamy tu pytanie z Teleranka. Co to za zwierzę: po wodzie pływa, kaczka się nazywa?

Cieszy mnie, że młody człowiek chce się czegoś nauczyć. Forum bardzo temu sprzyja (sam będąc jego uczestnikiem przed laty poprzez odpowiadanie na pytania i udzielanie pomocy wspaniale powtórzyłem swoją wiedzę przed kolokwium habilitacyjnym). Winę za to trudne podnoszenie się z upadku kładę po stronie nas, ludzi doświadczonych. To doświadczenie powinno też obejmować empatię. Wczucie się w sytuację studenta, wejście w jego skórę. Przecież my też byliśmy studentami. Czyżbyśmy zapomnieli o naszych poznawczych kłopotach? Starajmy się mówić prostym językiem, odnosić matematyczne pojęcia do rzeczywistości, a także do wcześniejszych doświadczeń naszych słuchaczy.

Co jest efektem ,,ścisłego” sposobu wykładania? Właśnie tytułowe dwie planety. Matematykę opisuję tak jak ją postrzegam, ale z 25–letnim doświadczeniem. I mimo, że wydaje mi się, że piszę prosto i finezyjnie, nie zawsze jestem rozumiany. Może czas, abym popracował i nad sobą…

13 komentarzy

  1. Bo matematyka jest bardzo skomplikowana. Większości nie rozumiem. I tak – wydaje mi się, że osobom obytym w temacie jest bardzo trudno wejść w skórę osoby początkującej. Nie tylko jeśli chodzi o matematykę, ale o każdy inny temat. Najlepiej jest, jeśli sami dopiero się czegoś uczymy i z własnego doświadczenia opisujemy krok po kroku, jak próbowaliśmy zrozumieć dane zagadnienie. Ma to jednak swoje wady – łatwiej popełnić błędy, jeśli dopiero się zgłębia temat.
    Obserwując proces nauki mojego sześciolatka, dochodzę do wniosku, że warto się uczyć regularnie, a wiedza przyjdzie gdzieś sama. Byle tylko dać jej szansę 🙂

    1. I to ostatnie zdanie wciąż powtarzam studentom. Matematyka jest nauką wymagającą niezwykłej systematyczności. Ale też i otwarcia na wiedzę, a nie zamknięcia się w stereotypie ,,to za trudne” czy też ,,nigdy nie lubiłem matematyki”. Takie podejście jest w modzie wśród niektórych celebrytów. Czas je zmienić. Matematyka — to jest fajne. 🙂

      1. Bo z matematyką też jest tak, że małe zaległości w jednym miejscu potrafią zablokować cały dalszy proces zrozumienia.
        Jeśli na języku polskim nie przeczytam jednej lektury – nic się nie stanie. Będę mieć małą lukę w wiedzy, ale większość kolejnych tematów będę mogła zrozumieć. Jeśli na biologii nie zakumam cyklu rozwojowego tasiemca, to mogę bez tego zrozumieć co to jest fotosynteza. Natomiast jeśli na matematyce zgubię się w dodawaniu albo w ułamkach (na początku podstawówki), to nie ma szans – albo to nadrobię, albo zaległości będą się ciągnąć latami. I w konsekwencji nie lubimy matematyki, nie rozumiemy fizyki itp. A problemem bardzo często są stare zaległości, coś nie wytłumaczone i nie przećwiczone dobrze.

        1. Po przedwczorajszym wykładzie z logiki student spytał mnie, co ma zrobić, jeśli pierwszą godzinę wykładu rozumie, ale drugiej części już nie, a to samo ma z matematyką. Odpowiedziałem, że nie da się wszystkiego zrozumieć podczas wykładu. Wskazałem najważniejsze jego części i to, na co ma zwrócić szczególną uwagę. Ma więc ten student jakąś świadomość małej wiedzy i chęć do jej poszerzenia. Tu jedynie systematyczność pomoże. Lubię takich ludzi. Ten student pyta mnie o coś na każdym wykładzie.

          1. A jednak wydaje mi się, że lepiej, aby student zrozumiał wszystko na wykładzie. Jeśli tak nie jest, to właśnie budują mu się zaległości. Po to właśnie stoi przed nim wykładowca, żeby wytłumaczyć i wyjaśnić mu to, z czym spotyka się po raz pierwszy. Oczywiście, nie chodzi o to, żeby wspomniane ułamki tłumaczyć na piątym roku matematyki (bo ktoś ma zaległości), ale żeby wszystkie nowe tematy wprowadzać w taki sposób, żeby się ze sobą łączyły i nie zniechęcały. Jako studentka, kiedy nie umiałam pojąć wypowiedzi wykładowcy, kiedy z wykładów wychodziłam z poczuciem “znów nie rozumiem” – właśnie w takich sytuacjach czułam się zniechęcona do przedmiotu i nigdy nie stawał się ulubionym, nie zachęcał do samodzielnego zapoznawania się z tematem.
            Podkreślam tutaj, że mam doświadczenie tylko z jednej strony – jako studentka. No i jeszcze jako korepetytor – właśnie nadrabiając zaległości z pojedynczymi uczniami miałam okazję zobaczyć, jak dużo złego robią sytuacje, kiedy coś nie zostało do końca wyjaśnione.

          2. Jak zawsze, gdzieś pomiędzy mamy złoty środek. Dziękuję za bardzo konstruktywny komentarz.

  2. Idąc na matematykę myślałem, że będzie fajnie. Zawsze mało się uczyłem, a dużo rozumiałem. Po 3 latach w których prawie że całą pasje do matematyki straciłem, stwierdziłem, że prawie nic nie rozumiem. Nie zaliczyłem roku i go powtarzam. Zauważyłem, że często nauczyciele nie umieją wprowadzić studentów w tematykę, tylko lecą z abstrakcyjnymi pojęciami, z którymi sami są zapoznani, tak jak Pan pisze.
    Wydaję mi się, że jest na to pewien sposób – przynajmniej na ćwiczeniach. Dać studentom na zajęciach jakieś zadania, do samodzielnego zrobienia, a nie ciągle wszystko robić samemu, albo przy tablicy pomagając zestresowanemu studentowi. A chwila na samodzielną pracę pozwala samemu wgłębić się w temat. A po przyjściu do domu z uczelni (gdzie na wykładach się mało rozumiało, a na ćwiczeniach robiło wszystko według schematu) ochota na naukę przechodzi.

    1. Dziękuję za trafne spostrzeżenie o konieczności dawania studentom samodzielności. Sam łapię się na tym, że czasem za dużo podpowiadam. Jednak od jakiegoś czasu prowadząc ćwiczenia regularnie wzywam studentów do tablicy. W efekcie są do zajęć w miarę przygotowani. Być może mają świadomość jakiejś nieuchronności. Po miesiącu każdy był już przy tablicy co najmniej dwa razy. A może są nieco bardziej dorośli niż ich starsi koledzy…

  3. Dziękuję Panu za ten mądry tekst. Jestem studentką III roku matematyki. Dziś miałam przyjemność pomagać w nauce mojej koleżance, która stawia pierwsze kroki w studiowaniu królowej nauk. To było piękne doświadczenie móc podzielić się z nią wiedzą i moim rozumieniem pewnych kwestii, do których sama dochodziłam. Sądzę, że taka nieumiejętność mówienia prostym językiem o matematyce przez wykładowców, to raczej nie nieumiejętność jak trochę brak rzeczywistego oddania swojej pracy akademickiej, gdzie to sam student powinien być najważniejszy. Niewiele z moich nauczycieli akademickich wykładało wiedzę przystępnie, ale tym, którzy to robili lub robią jestem bardzo wdzięczna, bo dzięki temu pasja do matematyki mogła we mnie rosnąć, a ja sama uwierzyłam w to, że jednak jestem w stanie się czegoś nauczyć.

    1. Miło czytać takie komentarze. A ja czytam też między wierszami, bo jest co zważywszy na ładny styl i ważną treść (Twój tekst czyta się gładko). Masz więc pasję — tę samą, którą mam ja. Możesz zostać niezłą matematyczką. A tylko pasjonaci będą zapamiętani przez uczniów i studentów.

      1. Dziękuję za miłe słowa. Właśnie dzięki takim uwagom moja motywacja do nauki wzrasta. Mam wrażenie, że z matematyką jest tak, że im dłużej się w niej siedzi, tym jeszcze bardziej wciąga i przynosi mnóstwo pięknych momentów zachwycenia nie nad nią samą, ale właściwie nad światem, bo ona jest językiem w jakim został opisany świat.

  4. “I mimo, że wydaje mi się, że piszę prosto i finezyjnie, nie zawsze jestem rozumiany. Może czas, abym popracował i nad sobą…”

    Myślę, że nie ma takiej potrzeby.

    Po prostu na studia nie uczęszcza taka elita jak za Pana studenckich czasów :). Widzę po sobie, widzę po uzdolnionych kolegach, którzy marnują się przez lenistwo i po swojej szkole, która kiedyś należała do elit i się też troszkę zaniedbała.

    Tak sobie myślę, że ambitni studenci podchodziliby, podpytywali, byle za wszystką cenę się dowiedzieć czegoś i zrozumieć wykład w 100 %.

Dodaj komentarz