Jak czytać tekst matematyczny

Średnią harmoniczną dwóch liczb dodatnich nazywamy odwrotność średniej arytmetycznej ich odwrotności. W ten lub podobny sposób można opowiedzieć całą matematykę bez użycia ani jednego symbolu. Czy można robić to z powodzeniem? Tak, jeśli słuchacz jest na to gotowy, czyli dysponuje umiejętnością czytania tekstów matematycznych. Na nieszczęście nikt w szkole tego nie uczy. Jak więc to robić?

Przykładowy tekst matematyczny.

Za cel tego felietonu postawię sobie przeczytanie (ale matematyczne, nie tak jak czyta się książkę) zdania — tego wprowadzającego. Jedno zdanie, a ile treści, ile potrzeby jego zrozumienia. Podstawą bowiem lektury tekstu matematycznego jest jego zrozumienie. Może nie od razu dogłębne, ale przynajmniej formalne.

Zacznijmy od tego, czym jest średnia arytmetyczna. Tę wiedzę ma większość osób. Ale nie chodzi mi tutaj o znajomość samego wzoru, lecz o świadomość sposobu obliczania średniej arytmetycznej. Jaka więc jest średnia liczb $2$ i $4$? Jasne, że $3$. Ale próba sformalizowania tej obserwacji (przeniesienia jej na dowolne dwie liczby $a, b$) może być trudna i nie każdy jest w stanie to zrobić. Powiedzmy jednak, że wiemy, że średnią arytmetyczną dwóch liczb nazywamy połowę ich sumy. Co to jest suma (wynik dodawania) wie chyba każdy, nawet dziecko. Co to jest połowa liczby — chyba też. Tak więc zgodzimy się na to, że średnią arytmetyczną liczb $a, b$ jest liczba $\dfrac{a+b}{2}$.

Wiemy już czym jest średnia arytmetyczna. Dalej mamy odwrotność liczby. To już nie jest tak intuicyjne jak suma. Ale przypuśćmy, że skądś wiemy, że odwrotnością liczby $a\ne 0$ nazywamy liczbę $\dfrac{1}{a}$.

Zacznijmy więc dekryptaż (język matematyczny jest dla niektórych porównywalny z hieroglifami) określenia średniej harmonicznej. Niech $a, b$ będą liczbami dodatnimi (Średnią harmoniczną dwóch liczb dodatnich …). Dalej mamy frazę nazywamy odwrotność, czyli na pewno musi wystąpić wyrażenie postaci\[\frac{1}{\text{coś}}\,.\]Czym jest to coś? Napisano o nim, że to średnia arytmetyczna odwrotności liczb $a, b$. Jest nią więc średnia arytmetyczna liczb $\dfrac{1}{a}$ oraz $\dfrac{1}{b}$:\[\text{coś}=\frac{\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}}{2}\,.\]Stąd już chyba prosta droga do odgadnięcia wzoru opisującego średnią harmoniczną liczb dodatnich $a, b$. Jest nią liczba\[\frac{1}{\dfrac{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}{2}}\,.\tag{*}\label{*}\]Nie wygląda ono najlepiej. Po dokonaniu uproszczeń możemy otrzymać wzór postaci\[\frac{2ab}{a+b}\,.\]Nie mówi on jednak zbyt wiele o naturze średniej harmonicznej. Można bowiem na podstawie wzoru \eqref{*} łatwo dokonać jego opisu słownego. Chodzi właśnie o odwrotność średniej arytmetycznej odwrotności. Jak zobaczyć to w tym drugim (niby prostszym) wzorze?

Jako ćwiczenie proponuję znalezienie wzoru opisującego średnią potęgową rzędu $2$ dwóch liczb dodatnich. Jest nią pierwiastek kwadratowy średniej arytmetycznej kwadratów tych liczb.

5 komentarzy

  1. Jeśli jesteśmy przy średniej harmonicznej, to warto tutaj wspomnieć, gdzie ona naturalnie występuje.

    Jeśli połowę drogi jechałem samochodem ze średnią prędkością 140 km/godz, a drugą połowę ze średnią prędkością 100 km/godz, to ile wyniosła moja średnia prędkość na całej trasie?

    Większość osób, którym zadalibyśmy to pytanie prawdopodobnie odruchowo użyje średniej arytmetycznej i odpowie, że ona wyniosła 120 km/godz, a to nie jest prawda, polecam wykonać stosowne przeliczenie. Ważne jest, że mówimy o połowie drogi, a nie o połowie czasu podróży.

    1. Co więcej, w matematyce finansowej obliczamy średnią stopę zwrotu formułą związaną ze średnią geometryczną. Różnica między taką średnią a arytmetyczną jest (przy stopach zwrotu rzędu 5%) znikomo mała. Wtedy studenci pytają, jakie to w ogóle ma znaczenie i czemu nie można użyć średniej arytmetycznej…

    2. Tego typu zadania to się robiło w szkole średniej, jest to typowe zadanie i to chyba nawet niekoniecznie w klasach matematycznych ale w humanistycznych również.

      1. Osobiście nie wiem czy teraz robi się coś poza średnią arytmetyczną. Trzydzieści lat temu na pewno. Takie zadania robiło się też na lekcji fizyki.

        O wszechobecności średniej arytmetycznej (obojętnie czy stosowanej poprawnie, czy też nie) można przeczytać w felietonie o kopaniu rowu.

Dodaj komentarz