Jak długo kopie się rów

Do wykopania jest rów. Mamy dwóch robotników. Pierwszy potrafi wykopać rów w 8 godzin, drugi wykona tę samą pracę w ciągu 6 godzin. Wydawać by się mogło, że średni czas pracy to 7 godzin. Tak powie znakomita większość ludzi. Człowiek ma chyba tendencję do uśredniania za pomocą średniej arytmetycznej. Czy to podejście jest właściwe?

Można wykonać eksperyment. Niech robotnicy pracują razem. Jeden będzie kopał z jednego końca, drugi z drugiego, tak, aby sobie nie przeszkadzali. W pewnej chwili skończą pracę. Średni czas kopania rowu jest oczywiście dwukrotnością czasu wspólnej pracy. Czy więc robotnicy wykopią rów w trzy i pół godziny, a więc średni czas kopania rowu wyniesie 7 godzin? Kto jest cierpliwy, niech poczeka. Tymczasem…

Nie przywiązujmy się do konkretnych wartości czasowych i przyjmijmy, że pierwszy robotnik kopie rów w czasie $t_1$ godzin, a drugi robotnik kopie ten sam rów w czasie $t_2$ godzin. Tak więc w ciągu godziny robotnicy wykonają odpowiednio $\dfrac{1}{t_1}$ oraz $\dfrac{1}{t_2}$ rowu, więc pracując razem wykonają $\dfrac{1}{t_1}+\dfrac{1}{t_2}$ rowu. Niech teraz $t$ oznacza średni czas kopania rowu. Gdyby naszych robotników zastąpić innymi pracującymi w tym samym tempie (właśnie średnim, cały rów w $t$ godzin), to ci ludzie w godzinę wykonają $\dfrac{1}{t}+\dfrac{1}{t}=\dfrac{2}{t}$ rowu. Porównajmy te wielkości:\[\frac{1}{t_1}+\frac{1}{t_2}=\frac{2}{t}\,.\] Średni czas kopania rowu \[t=\dfrac{1}{\dfrac{\dfrac{1}{t_1}+\dfrac{1}{t_2}}{2}}\] jest zatem odwrotnością średniej arytmetycznej odwrotności czasów $t_1,t_2$. Taka średnia nazywa się harmoniczną. Jeśli $t_1,t_2>0$, to można zapisać ją prościej w postaci\[H(t_1,t_2)=\frac{2t_1t_2}{t_1+t_2}\,.\]

Wracając do konkretnych czasów $t_1=8,\,t_2=6$ godzin, otrzymujemy średni czas kopania rowu\[H(8,6)=\frac{2\cdot 8\cdot 6}{8+6}=\frac{96}{14}=6\frac{6}{7}\] godziny. Jest on o $\dfrac{1}{7}$ godziny (czyli o niecałe 9 minut) krótszy od średniej arytmetycznej.

Pracując razem obaj robotnicy wykopią nasz rów w $3\dfrac{3}{7}$ godziny.

Średniej harmonicznej należy używać i w innych zagadnieniach. Samochód przejeżdżający dystans $s$ z prędkością $v_1$, a kolejny dystans tej samej długości $s$ z prędkością $v_2$, porusza się z prędkością średnią $v=\dots$. Właśnie? Jaki to rodzaj średniej? Zapraszam do rozwiązania zadania oraz podawania w komentarzach innych zastosowań średniej harmonicznej.

9 komentarzy

  1. Może to wydawać się zabawne, ale mimo dobrego radzenia sobie z rozmaitymi matematycznymi zagadnieniami, miałem lekkie kłopoty z rozumieniem zadań podobnego typu do tego poruszonego w artykule. Na szczęście przeczytanie artykułu doprowadziło mnie do kilku owocnych myśli, które całościowo wyjaśniły dosyć “nieintuicyjną” naturę wielkości odwrotnie proporcjonalnych takich jak praca czy też prędkość względem czasu. Liczę na więcej podobnych artykułów, jeżeli jednak mógłbym coś zaproponować, to z wielką chęcią przeczytałbym artykuł pokazujący w jaki sposób można wywnioskować, że pewien szczególny ciąg jest zbieżny i to do granicy e (oraz dlaczego e równa 2,7182818…).

    Pozdrawiam, Lafoniz

    1. Wezmę to pod uwagę. Szkic: ciąg o wyrazie ogólnym $\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$ jest rosnący, co można pokazać dość żmudnie, ale się da. Jest też ograniczony z góry na mocy nierówności Bernoulliego. Dlatego ma granicę, która jest jego kresem górnym. Przybliżoną wartość liczby $e$ można już stąd otrzymać. Ciekawszy jest dowód niewymierności, nawet niespecjalnie trudny. Nie obiecuję, że napiszę od razu, ale – jak mówię – rozważam taką możliwość. Tego rodzaju sugestie uważam za cenne. Ważne jest również to, że wróciłeś na blog i nie jest to Twój pierwszy komentarz.

      Pięknie pozdrawiam.

      1. “Średni czas kopania rowu jest oczywiście dwukrotnością czasu wspólnej pracy.”
        Czas wspólnej pracy prowadzi do wykopania całego rowu, jego dwukrotność do wykopania dwu rowów by prowadzila.
        Czy zatem nie powinno być: Średni czas jest połową czasu wspólnej pracy?

        S

        1. Zauważ, że jeśli dwaj robotnicy pracując w tym samym tempie, kopią rów w czasie $t$, to gdyby pracował tylko jeden, a drugi patrzał (jak to zwyczajnie w Polsce), to wykopie rów w czasie $2t$. I to jest czas kopania rowu przez średniego robotnika.

          Sądzę, że Twoje myśli podążyły za dwoma robotnikami. Jest ich dwóch, pracują nierówno. Więc jaki jest średni czas kopania przez każdego robotnika z osobna? Chodzi o czas pracy średniego robotnika. Tzn. takiego, że gdyby wziąć dwóch, będą pracować równo. 🙂

          Ja mam 2 złote, Ty masz 4 złote. Średnio mamy 12 zł? Ale by było fajnie. 🙂

          Bardzo serdecznie pozdrawiam Drogiego Kolegę.

  2. Przejrzałem artykuł po raz drugi i przypomniałem sobie o zadaniu, dlatego też zamieszczam jego rozwiązanie:

    Średnia prędkość w takim przypadku będzie równa podwojonemu iloczynowi prędkości (w czasie drogi) podzielonemu przez sumę tych prędkości. Kluczowe jest zauważenie (to taka wskazówka dla osób np. z liceum), że czas przebycia pierwszego odcinka jest różny od czasu przebycia drugiego, dlatego też nie mamy do czynienia ze średnią arytmetyczną .

    1. Tak. Zatem znów średnia harmoniczna. Taki wzór podaję w artykule, co prawda w odniesieniu do czasów, ale to nie jest ważne. Nawiasem mówiąc, ładnie omawiasz wzór bez użycia symboli. To cenna umiejętność, nie każdemu dostępna.

  3. Przykładowe zadanie na wykorzystanie owej średniej może być takie: W roku XXXX u pewnego sadownika ceny 1kg pomarańczy wynosiły: za pierwszy gatunek A tys., za drugi gatunek-B tys., a za trzeci-C tys.zł. Sadownik uzyskał ze sprzedaży ileśtam.mln zł, w tym po ileśtam.mlnzł za pierwszy i trzeci gatunek, a ileśtam.mln zł za drugi gatunek. Ile wynosiła średnia cena 1kg pomarańczy?
    Inny przykład: Jak byś połączył dwa rezystory równolegle jeden o oporze $40 \Omega$ i drugi o oporze $60 \Omega$ to możesz je zastąpić dwoma rezystorami o oporze $48 \Omega$ (średnia harmoniczna) połączonych także równolegle.
    A jaka jest długość $z$ odcinka równoległego do podstaw trapezu i przechodzącego przez punkt przecięcia jego przekątnych? To interpretacja geometryczna średniej harmonicznej.
    Kolejny przykład: Jeżeli jedna pompa jest w stanie napełnić cały basen w 4 godziny, a druga pompa jest w stanie napełnić cały basen w 6 godzin. To w jakim czasie te dwie pompy pracując razem są w stanie napełnić basen?
    Poza tym warto zwrócić uwagę na to, że średnia harmoniczna stanowi szczególny przypadek średniej potęgowej. W ogólności można określić wariant ważony dla średniej potęgowej dowolnego rzędu rzeczywistego niezerowego $q$, zgodnie z wzorem:
    \[\left(\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n} w_{i}x_{1}^{q}}{\displaystyle\sum_{i=1}^{n} w_{i}}\right)^{\frac{1}{q}}\]
    Dla rzędu 0 średnią potęgową ważoną jest ważona średnia geometryczna, a dla rzędów $\pm\infty$ wprowadzenie wag nie zmienia wartości średniej. Można zauważyć, że dla rzędu -1 średnia jest średnią ważoną harmoniczną, a dla rzędu 2 – średnią ważoną kwadratową
    I na koniec ciekawostka
    http://pl.wikipedia.org/wiki/Nier%C3%B3wno%C5%9B%C4%87_Cauchy%27ego_o_%C5%9Brednich czyli gdzie umiejscowić średnią harmoniczną wśród innych rodzajów średnich.

    1. Bardzo dziękuję za ten wpis. Dodam tylko, że wciąż powstają prace naukowe porównujące różne rodzaje średnich. Np. znane są wyniki dotyczące monotoniczności średniej potęgowej ze względu na rząd $q$. Rozważa się średnie Stolarskiego, Giniego, Lagrange’a, Cauchy’ego, średnie Bajraktarevica, średnie quasiarytmetyczne i wiele innych. Całe bogactwo średnich. Wartych osobnego bloga. 🙂 Jest jeszcze bardzo tajemnicza średnia zwana identric mean. Nikt nie przetłumaczył jeszcze tego terminu na język polski. Jest to średnia\[I(x,y)=\frac{1}{\text{e}}\left(\frac{y^y}{x^x}\right)^{\tfrac{1}{y-x}}.\]

Dodaj komentarz