Jak obliczyć pewną całkę?

Poniższy tekst ma służyć przetestowaniu możliwości wstawienia do bloga tekstu matematycznego. Przy okazji pokażę mój ulubiony sposób obliczania mało skomplikowanej całki
\[
\int\sin^2 x\,\text{d}x,
\]
która bardzo często pojawia się w różnych zadaniach.

Na początek zapisujemy dwa powszechnie znane wzory trygonometryczne:
\begin{align*}
\cos^2 x+\sin^2 x&=1,\\
\cos^2 x-\sin^2 x&=\cos 2x.
\end{align*}
Odejmując oba równania stronami otrzymujemy
\[
2\sin^2 x=1-\cos 2x,
\]
czyli
\[
\sin^2 x=\frac{1}{2}\left(1-\cos 2x\right).
\]
Teraz można już przystąpić do całkowania:
\begin{align*}
\int\sin^2 x\,\text{d}x&=\int\frac{1}{2}\left(1-\cos 2x\right)\,\text{d}x=\\[1ex]
&=\frac{1}{2}\int\left(1-\cos 2x\right)\,\text{d}x=\\[1ex]
&=\frac{1}{2}\left(x-\frac{1}{2}\sin 2x\right)+C=\\[1ex]
&=\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}\sin 2x+C.
\end{align*}
Jako ćwiczenie proponuję obliczyć powyższą metodą całkę $\int\cos^2 x\,\text{d}x$.

3 komentarze

  1. Istnieje też rozwiązanie, które nie angażuje znajomości żadnych tożsamości trygonometrycznych. Mianowicie wystarczy napisać $\sin^ 2x = \sin x \cdot \sin x$ i scałkować przez części. Pojawią się całki pętlące się znane z przykładów całek postaci $\int e^x \sin x\,{\rm d}x$.

Dodaj komentarz