Jak rozmawiają matematycy

Język matematyki cechuje wyjątkowa precyzja i brak niedomówień. Jednak określenia wielu pojęć przyprawiają niezorientowanego czytelnika o zawrót głowy. Jak radzą sobie z tym matematycy? Bardzo często mówią półsłówkami, na pozór wyjątkowo nieściśle i niedokładnie. Czy na pewno tak jest? Zapraszam do lektury kilku przykładów.

Jak rozmawiają matematycy?

Granica ciągu. Przypuśćmy, że mamy za zadanie wykazać, że granicą ciągu liczbowego o wyrazie ogólnym $a_n=\dfrac{n^2+1}{n^2+3}$ jest liczba $1$. Jest tak dlatego, że prawie wszystkie wyrazy ciągu $(a_n)$ różnią się od jedynki dowolnie mało. Tak powie matematyk do matematyka. A co kryje się w tym prostym i lakonicznym zdaniu? Łatwo sprawdzić, że $\lvert a_n-1\rvert=\dfrac{2}{n^2+3}$, a ta liczba może być tak bliska zeru (czyli tak mała), jak chcemy, byle tylko $n$ było dostatecznie duże. Znów mówię żargonem matematycznym. Idźmy więc dalej. Oczywiście dla każdej liczby naturalnej $n=1,2,\dots$ mamy $\dfrac{2}{n^2+3} < \dfrac{2}{3}$. Ta informacja nie jest jednak zbyt użyteczna, mówi tylko tyle, że wszystkie (już nie prawie, ale dokładnie) wyrazy naszego ciągu różnią się od jedynki mniej niż o $\dfrac{2}{3}$. Co zdarzyłoby się, gdybyśmy chcieli większej bliskości? Niech więc $\varepsilon<\dfrac{2}{3}$. Wtedy dla wszystkich $n>\sqrt{\dfrac{2}{\varepsilon}-3}$ mamy $\dfrac{2}{n^2+3} < \varepsilon$ (proste sprawdzenie pozostawiam Czytelnikom — znów jeden z bardziej klasycznych podręcznikowych zwrotów). Ile jest jednak liczb naturalnych $n$, dla których $\dfrac{2}{n^2+3}\xge\varepsilon$, czyli takich, że $n\xle \sqrt{\dfrac{2}{\varepsilon}-3}$ (o ile liczba pod pierwiastkiem jest nieujemna)? Oczywiście jest ich skończenie wiele. A zwrot prawie wszystkie liczby naturalne oznacza wszystkie liczby naturalne za wyjątkiem (ewentualnie) skończenie wielu.

Reasumując, sprawdziliśmy, że dla każdego $\varepsilon>0$ istnieje taka liczba naturalna $N=\left\lfloor\sqrt{\max\left\{\dfrac{2}{\varepsilon}-3,0\right\}}\right\rfloor+1$ taka, że dla każdej liczby naturalnej $n\xge N$ zachodzi nierówność $\lvert a_n-1\rvert<\varepsilon$, co według definicji granicy ciągu liczbowego oznacza, że $\lim\limits_{n\to\infty} a_n=1$. To precyzyjny i suchy matematyczny zapis. Czy drobny brak precyzji i późniejsze jej uzupełnienie nie są bardziej przekonujące? Niech Czytelnik osądzi to sam.

Uwaga. Symbol $\lfloor x\rfloor$ oznacza największą liczbę całkowitą nie przekraczającą $x$, czyli tzw. podłogę bądź część całkowitą liczby rzeczywistej $x$.

Prosta. Bardzo często matematycy zbiór liczb rzeczywistych nazywają prostą rzeczywistą bądź krótko prostą. Jak teraz zrozumieć następujące zadanie: wykazać, że prosta ma moc continuum. Przecież continuum to właśnie moc zbioru liczb rzeczywistych, więc co tu wykazywać? Czytający (żeby nie było nieporozumień – piszący te słowa) wpadł może nie we własne, ale matematyczne sidła. Należało zwyczajnie udowodnić, że zbiór wszystkich punktów prostej (może być na płaszczyźnie) ma moc continuum. Czasem więc rutyna może przynieść trochę szkody.

Nieprecyzyjne określanie pojęć. W rozmowach matematyków jest tak tylko na pozór. Co kryje się za zwrotem ilorazy różnicowe funkcji wypukłej są niemalejące? Wyjaśnieniom poświęciłem jeden z wcześniejszych wpisów na blogu. Dla zawodowców nadanie tym słowom odpowiedniej ścisłości jest kwestią sekund. Na zrozumienie przez osoby nie zajmujące się funkcjami wypukłymi potrzeba kilku lat studiów. Proszę zauważyć, że tę cechę mają nie tylko rozmowy matematyczne, lecz także rozmowy fachowców reprezentujących dowolną dziedzinę nie dostępną (przynajmniej od razu) przeciętnemu śmiertelnikowi.

Myśli matematyczne wyrażone językiem literackim mogą być zupełnie niezrozumiałe odbiorcom nie zaznajomionym z tematem. Mamy dla przykładu zdanie: W przestrzeni zwartej każda rodzina scentrowana zbiorów domkniętych ma przekrój niepusty. Wszystkie słowa są na pozór zrozumiałe. Coś zwartego, czyli w jednym kawałku (matematycznie to raczej spójność, ale nie o matematykach teraz mówię). Rodzina – podstawowa komórka społeczna. Scentrowane może być koło w rowerze. Itd. Tak jak  poprzednim akapicie, zdanie to może właściwie zrozumieć dopiero słuchacz wykładu z topologii. Tutaj rozmówcy posługują się słownictwem właściwym dla danej dziedziny.

Za zakończenie zacytuję słowa mojego wspaniałego kolegi, dra hab. Marka Bernackiego, prof. ATH, polonisty, wybitnego znawcy poezji Czesława Miłosza, a także obecnego dziekana Wydziału Humanistyczno–Społecznego mojej uczelni. Otóż Marek był obecny na dziewięćsetnym seminarium naukowym naszej Katedry Matematyki. Nieprzypadkowo, bo w LO uczęszczał do klasy matematyczno–fizycznej. Powiedział tak: Czym my humaniści różnimy się od was matematyków? Jeśli wy przyjdziecie na nasze seminarium, rozumiecie większość rzeczy. Jeśli my przyjdziemy na wasze – nie rozumiemy niczego. Głębokie to słowa i jakże prawdziwe.

8 komentarzy

  1. Każdy fach ma swój żargon i specyficzny słownik. Nawet gramatykę. Słuchając starych hydraulików przy robocie nie wszystko się rozumie. Ale nie tylko hydraulików. Bo kto wie że babka ma pinolę, a koksem obciąga się tarczę i gitara ma koła zmianowe a po planszajbę bierze się na markę.

    1. Bardziej myślałem o czymś tajemniczym. Czyż to, że niczego nie rozumiem, nie wprawi w zachwyt nad umiejętnościami tych fachowców? Posługują się specjalistycznym słownictwem. Taka socjotechnika. A dziś słyszałem reklamę magnezu. Ktoś podający się za doktora nauk medycznych mówił o najlepszej bioretencji. O coś takiego chodzi. Ludzie kupią, bo ta bioretencja pomoże w uwiarygodnieniu leku. Mówi ktoś ze stopniem doktora, używa fachowych terminów. Czy jest doktorem i czy ta bioretencja rzeczywiście jest dobra – to zupełnie inna sprawa. Ale ludzie pójdą do aptek i kupią, a o to przede wszystkim chodzi. 🙂

    1. Żony matematyków rzadko piszą komentarze, ale gdy już napiszą, robią to… od kuchni. 🙂 Wiele prawdy w słowach o mamieniu.

  2. Zauważyłem, że znajomość języka matematyki w znacznym stopniu pomaga pisać spójne i wyjątkowo poprawne teksty w języku polskim. Zastanawia mnie dlaczego poloniści nie proponują dodatkowo nauki matematyki w celu eliminacji trudności w pisaniu tekstów, tylko zawsze odsyłają wyłącznie do książek/wzorów wypracowań.

    1. Bardzo dobry postulat. Miałem zamiar napisać tu esej motywujący to, czemu uważam się za humanistę. Tak. Matematyka jest językiem precyzyjnego zapisu myśli. A nie wszyscy poloniści są za pan brat z matematyką. Czy proponować jej naukę mają na przekór wszystkiemu? Ale wspomniany Pan prof. Marek Bernacki, mój serdeczny kolega, jest humanistą i znawcą poezji Miłosza, lecz nie stroni od matematyki.

Dodaj komentarz