Jak zostałem matematykiem, część VIII

Krótko po moim powrocie z Krynicy (szczegóły w poprzedniej części serii) Zakład Topologii w Uniwersytecie Śląskim odwiedził Aleksander Charaziszwili – matematyk z Gruzji zajmujący się głównie topologią, lecz także analizą wypukłą. Podczas jego referatu usłyszałem o twierdzeniu Helly’ego. Jest to klasyczny fakt dotyczący zbiorów zwartych i wypukłych.

Stale uczestniczyłem też w seminariach Katedry Matematyki w Bielsku. Wtedy, w roku 1993, mój przyszły promotor rozprawy doktorskiej, prof. dr hab. Kazimierz Nikodem, zreferował twierdzenie uzyskane wspólnie z profesorami Karolem Baronem i Januszem Matkowskim dotyczące istnienia funkcji wypukłej oddzielającej dwie dane funkcje rzeczywiste.

Mając to na uwadze i dowiadując się o twierdzeniu Helly’ego, dostrzegłem, że te rzeczy można z sobą powiązać. W ten sposób otrzymałem swój pierwszy wynik naukowy. W życiu matematyka-naukowca zdarzają się rezultaty lepsze i gorsze, mniej lub bardziej znaczące. Mój okazał się dobry. Na tyle dobry, że jest dość szeroko cytowany do dzisiaj. Pozwolę sobie zacytować to twierdzenie. Otóż dwie funkcje $f,g:\I\to\RR$ (gdzie $\I\subset\RR$ jest przedziałem, obojętnie jakim, może to być też półprosta czy cała prosta) można oddzielić funkcją afiniczną (tj. istnieje funkcja $h:\I\to\RR$ postaci $h(x)=ax+b$ taka, że $f(x)\xle h(x)\xle g(x)$) wtedy i tylko wtedy, gdy dla wszystkich $x,y\in\I$ oraz $t\in[0,1]$ zachodzą dwie nierówności:
\[
\begin{aligned}
f\bigl(tx+(1-t)y\bigr)&\xle tg(x)+(1-t)g(y)\,,\\
g\bigl(tx+(1-t)y\bigr)&\xge tf(x)+(1-t)f(y)\,.
\end{aligned}
\]Oczywiście jeśli istnieje funkcja afiniczna oddzielająca funkcje $f,g$, to powyższe nierówności sprawdza się bardzo prosto. Istotny jest więc dowód implikacji odwrotnej i właśnie tutaj zastosowałem twierdzenie Helly’ego, a dokładniej jego wariant zwany twierdzeniem Santaló lub twierdzeniem o trzech odcinkach.

Pozwolę sobie jeszcze zauważyć, że jeśli założymy zachodzenie tylko pierwszej nierówności, to istnieje funkcja wypukła $h$ oddzielająca funkcje $f,g$. To właśnie jest twierdzenie Barona, Matkowskiego i Nikodema. Proszę nie odnieść wrażenia, że wynika ono z mojego rezultatu. To jest fakt uzyskany zupełnie innymi metodami.

Wspomniany tutaj mój pierwszy wynik naukowy uzyskałem około maja 1993 roku. Został opublikowany w roku 1995 we wspólnej pracy z Kazimierzem Nikodemem (profesor napisał paragraf o stabilności typu Hyersa-Ulama funkcji afinicznych, a wkład ten był na tyle duży, że zaproponowałem napisanie wspólnej pracy) i niemal od razu stał się podstawą do uogólnień, z których ostatnie zostało otrzymane jakieś dwa lata temu przez mojego kolegę z Węgier Mihály Bessenyei’ego wraz z Patrícią Szokol.

Wejście w świat nauki miałem dość mocne. Jednak wtedy, z jedną pracą na koncie, trudno było myśleć o doktoracie. Ale zajął się mną Profesor Nikodem i postawienie na niego było bardzo dobrą decyzją. Od tej pory rozluźniłem kontakty z topologami z Katowic i aktywnie włączyłem się w nurt badań naszej bielskiej Katedry Matematyki. Zrobiłem duży krok, aby zostać matematykiem.

Dodaj komentarz