Matematyka czepialska

Na kartach Ewangelii wg Św. Łukasza (Łk 18, 9–14) znajdujemy wspaniałą przypowieść o faryzeuszu i celniku modlących się w świątyni. Pierwszy mówi w zasadzie do siebie wywyższając się nad inne stany, zaś drugi uniżenie prosi Boga o wybaczenie. On właśnie, przedstawiciel znienawidzonej w Izraelu profesji, zyskuje usprawiedliwienie. Jak to się ma do matematyki? Zapraszam do lektury.

Wielokropek

Wszyscy mają swoje wady. My matematycy też. Jedną z nich jest dzielenie włosa na czworo tam, gdzie nie jest to potrzebne. Nieumiejętność rezygnacji ze stuprocentowej precyzji, ortodoksja pokazywana adeptom. Ci, zamiast się czegoś nauczyć, polubić matematykę, często zniechęcają się postawą niektórych z nas. Nie na darmo śp. ks. prof. Józef Tischner powiedział kiedyś, że nie zna nikogo, kto stracił wiarę przez komunistów, ale zna wielu, którzy stracili ją przez własnego proboszcza. Czy chcemy być takimi proboszczami?

Modelowym przykładem matematycznego czepialstwa jest znaczenie wielokropka. Mamy zadanie typu: podaj wzór na ogólny wyraz ciągu $2,5,8,11,\dots$. To jest pole do popisu dla faryzeuszy — matematycznych purystów, kiedy nie trzeba. Zadanie takie jak powyżej służy kształtowaniu dostrzegania pewnych występujących w przyrodzie prawidłowości. Stąd najczęstsza interpretacja wielokropka idzie za tymi prawidłowościami, widocznymi gołym okiem. Dlatego będziemy skłonni twierdzić, że kolejne wyrazy tego ciągu to $14,17,20$ itd. Dokładniej chodzi tu o liczby dające w dzieleniu przez $3$ resztę $2$. Wtedy wzór na wyraz ogólny $a_n$ tego ciągu ma postać $a_n=3n-1$, gdzie $n=1,2,3,\dots$. Analiza kilku początkowych wyrazów tego ciągu ma doprowadzić do tego typu obserwacji, które z kolei pozwolą na podanie odpowiedniego wzoru.

A teraz czepialscy podnoszą krzyk: pisząc $2,5,8,11,\dots$ nie określono przecież dokładnie, o jaki ciąg chodzi. Można po $11$ podać dowolną liczbę i będzie dobrze. Na potwierdzenie swoich słów szermują wieloma wzorami wyrazów ogólnych, które na pierwszych czterech miejscach zgadzają się z naszymi liczbami.

Na przykład $a_n=3n+2+\lfloor 0{,}2n \rfloor$ (gdzie $\lfloor x\rfloor$ oznacza część całkowitą liczby $x$, tj. największą liczbę całkowitą nie przekraczającą $x$). Widzimy, że dla $n=1,2,3,4$ mamy $\lfloor 0{,}2 n\rfloor=0$, więc $3n-1+\lfloor 0{,}2n\rfloor=3n-1$ i mamy stąd nasze cztery liczby $2,5,8,11.$ Ale już na piątym miejscu otrzymujemy nie $14$, lecz $15$, bo $3\cdot 5-1+\lfloor 0{,}2\cdot 5\rfloor=15$.

Jeszcze inaczej: niech $a_n=11-3|n-4|$. Dla $n=1,2,3,4$ otrzymujemy odpowiednio nasze liczby, dla $n=5,6,7,8$ mamy $8,5,2,-1$. W tym miejscu ci krzykacze będą prześcigać się w wyszukiwaniu kolejnych wzorów świadczących za ich tezą: poprawnie określono tylko pierwsze cztery wyrazy naszego ciągu $2,5,8,11,\dots$, zaś każdy następny wyraz może być dowolny.

Przyznajmy im jednak rację. Rzeczywiście znaczenie wielokropka jest kwestią interpretacji, rzeczywiście brak tu matematycznej precyzji. My, matematycy, doskonale zdajemy sobie z tego sprawę. Jednak nie musimy tego wszem wobec manifestować. Zadania takie jak wyżej, są proste i skierowane do uczniów, adeptów poznających tajniki Królowej Nauk. Dostrzeganie związków liczbowych to niezbędny etap prowadzenia rozumowań czy później nawet badań naukowych. Ale zanim będziemy dorośli, zanim matematykę poznamy lepiej, zanim staniemy się badaczami, musimy zmierzyć się z prostymi problemami. Na tym etapie nadmierne demonstrowanie konieczności stuprocentowej precyzji jest zwyczajnie zbędne. Przyjdzie na to czas. Przecież początkujący narciarz nie potrafi czasem ustać na dwóch deskach. Jaki więc będzie pożytek, gdy zaczniemy go uczyć slalomu? Ale za tydzień, dwa, miesiąc, może w przyszłym sezonie, będzie to jak najbardziej wskazane. Dla niektórych uczniów sezon matematycznych niuansów jeszcze nie nadszedł i wcale nie oznacza to, że nie nadają się do uprawiania tej dziedziny wiedzy.

Jak więc uczyć? Najpierw demonstruje się sytuacje typowe, jak w naszym zadaniu. Niektórym to wystarczy do sprawnego funkcjonowania w społeczeństwie. Dopiero gdy uczeń nabędzie pewnej ogłady, można poinformować go o niuansach, powiedzieć o niedookreśleniu zadania. Ale dopiero wtedy, gdy opanuje się rzeczy najprostsze. Startowanie od niuansów, uporczywe wytykanie ich palcem na wczesnym etapie nauczania może prowadzić tylko w jednym kierunku — do znienawidzenia matematyki.

Zauważmy też inną rzecz. Ci ortodoksi, którzy potrafią znaczeniem wielokropka doprowadzić ucznia do płaczu, prowadząc wykłady bez żenady tenże stosują. Czym bowiem są zapisy typu ,,dla $i=1,2,\dots,n$”? Wtedy użycie wielokropka jest dozwolone, bo przecież co wolno wojewodzie… Czytelnik pozwoli, że nie będę kończył.

Któż więc odejdzie usprawiedliwiony? Ten, który z głośnym hukiem obwieszcza, że zadanie nie jest poprawnie sformułowane triumfując doprowadzeniem ucznia do zdenerwowania i płaczu, czy też ten, kto nie podąża do końca za ścisłością, ale pochyla się nad nim wskazując mu drogę do poznania?

4 komentarze

  1. Rzekłeś wiele prawdy. Szkoda tylko, że my, nauczyciele, nie staramy się poprawnie sformułować problemu. Czemu, zamiast bez sensu (bo chyba wiemy, że pytanie jest bez sensu) pytać ,,jaki jest następny wyraz tego ciągu?”, nie spytać ,,jaką prawidłowość dostrzegasz w tym ciągu? Czy potrafisz z niej wydedukować jego następny wyraz?”.

    Różnica jest istotna: o ile pierwsze pytanie umacnia w młodym człowieku przekonanie, że po $1,2,3,4$ MUSI byc $5$, o tyle drugie otwiera drogę do zdziwienia – ,,a czy może być coś innego?”. A to zdziwienie to pierwszy krok ku wiedzy.

    Zadanie – żarcik.
    Wskaż regułę, z której wynika, że w ciągu $1,2,3,4,9$ nie ma następnego wyrazu ☺

  2. Jaka jest ostatnia liczba w tym ciągu?

    4, 4, 8, 6, 1, 3, ?

    Dodam, że jest to bardzo trudna zagadka, która sprawdza nieszablonowe myślenie (ja jej nie rozwiązałem).

Dodaj komentarz