Bardzo często zachęcam studentów kierunków technicznych do stosowania w obliczeniach i nauce matematyki oprogramowania typu CAS (systemów obliczeń symbolicznych). Czy użycie tego rodzaju systemów dozwolone jest i w twórczym uprawianiu czystej matematyki?
Wyznacznik macierzy
\[
A=\begin{bmatrix}
% row1
-5 \sqrt{2}&
\frac{25(2+5 \sqrt{2}+2 \sqrt{5}+ \sqrt{10})}{36}&
-\frac{10(8+8 \sqrt{2}+2 \sqrt{5}+ \sqrt{10})}{27}&
\frac{5(18+9 \sqrt{2}+2 \sqrt{5}+ \sqrt{10})}{76}\\[1ex]
% row2
-2 \sqrt{5}&
\frac{25(-1+5 \sqrt{2}- \sqrt{5}+ \sqrt{10})}{18}&
-\frac{4(5+5 \sqrt{2}+2 \sqrt{5}+ \sqrt{10})}{9}&
\frac{15+5 \sqrt{2}+3 \sqrt{5}+ \sqrt{10}}{14}\\[1ex]
% row3
5 \sqrt{2}&
\frac{25(2+5 \sqrt{2}+2 \sqrt{5}+ \sqrt{10})}{12}&
-\frac{10(4+4 \sqrt{2}+2 \sqrt{5}+ \sqrt{10})}{9}&
\frac{5(22+11 \sqrt{2}+6 \sqrt{5}+3 \sqrt{10})}{76}\\[1ex]
% row4
2 \sqrt{5}&
\frac{25(3+5 \sqrt{2}+3 \sqrt{5}+ \sqrt{10})}{6}&
-\frac{4(5+5 \sqrt{2}+2 \sqrt{5}+ \sqrt{10})}{3}&
\frac{25+15 \sqrt{2}+5 \sqrt{5}+3 \sqrt{10}}{14}
\end{bmatrix}
\]ma wartość\[
-\tfrac{320000}{10773}(7+6\sqrt{2}+3\sqrt{5}+2\sqrt{10})\,.
\]Czyż to nie oczywiste? I tak, i nie. Nie, bo powyższa macierz nie wygląda zachęcająco. Tak, bo stosując najprostsze własności wyznaczników można ten wyznacznik obliczyć ręcznie w stosunkowo niedługim czasie.
Powyższy przykład pochodzi z jednej z moich prac naukowych. Macierz $A$ była macierzą główną pewnego – jak się okazuje – cramerowskiego układu czterech równań liniowych z czterema niewiadomymi, a ja potrzebowałem w jednym z kroków dowodowych jego rozwiązania. Praca ręczna przerosła moje siły. Wiedząc przynajmniej, że układ jest oznaczony, sięgnąłem wobec tego po pomoc komputera wyposażonego w darmowy system obliczeń symbolicznych Maxima. Przedstawione rozwiązanie komputerowe zostało zaakceptowane przez recenzentów i praca ukazała się drukiem. Na werdykt czekałem jednak z wypiekami na twarzy.
Czy pomoc komputera w dowodzeniu twierdzeń i twórczym uprawianiu matematyki jest dozwolona? To pytanie sięga przynajmniej roku 1976, kiedy to ukazał się komputerowo wspomagany dowód twierdzenia o czterech barwach. Jednoznacznej odpowiedzi chyba nie ma. Sądzę, że komputer jest w stanie znacznie przyspieszyć obliczenia, analizować szczególne przypadki. Zawsze jest to podstawą do wysuwania hipotez natury ogólnej. Natomiast komputer nie zastąpi ludzkiego procesu myślowego. Nie znajdzie właściwego tricku, nie wpadnie na pomysł. A często piękno matematyki tkwi w pomysłach, niespodziewanym użyciu różnych narzędzi itp. Rolę komputera widzę więc we wspomaganiu badacza, a nie w myśleniu koncepcyjnym.
Dopóki więc motorem działalności twórczej będzie człowiek, użycie komputera–wspomagacza uważam za dozwolone. W duchu tej opinii od dawna działają inżynierowie. Komputer sam z siebie nie zaprojektuje pięknego domu czy mostu, nie wkomponuje ich w otoczenie. Gdy jednak zobaczę twierdzenie całkowicie sformułowane i udowodnione przez komputer… przerażę się. Sądzę jednak, że do tego droga długa i daleka. Myślenie ma kolosalną przyszłość.
A jakiej to teorii procesy dotyczą przerażające współczynniki?
Nierówności pomiędzy operatorami trzypunktowej kwadratury Czebyszewa i czteropunktowej kwadratury Lobatta w klasie funkcji 3-wypukłych. Możesz zobaczyć pracę [11] na mojej stronie. Co ciekawe, w międzyczasie nauczyłem się interpolacji splinowej i za jej pomocą rok później przedstawiłem prościutki, już nie komputerowy, dowód nierówności, która sprawiła mi tyle trudności (praca [13]). Między innymi z takich rzeczy matematyk czerpie satysfakcję.
Obie prace są możliwe do prześledzenia nawet przez osobę nie będącą specjalistą w dziedzinie analizy numerycznej i funkcji wypukłych. Powiem tylko, że za funkcję $n$-wypukłą (gdzie $n\in\NN$) można uważać taką, której pochodna rzędu $n+1$ jest nieujemna. Ogranicza to nieco pole działania, ale nie aż tak bardzo. W szczególności funkcja wykładnicza jest $n$-wypukła dla każdego $n$. Z kolei spliny postaci $f(x)=(x-a)^n_+$ są $n$-wypukłe (w świetle ogólnej definicji), ale nie są $(n+1)$-krotnie różniczkowalne. Są jednak podstawowe w teorii funkcji $n$-wypukłych, które się nimi przybliża, i to jednostajnie. Odpowiednie twierdzenie cytuję w pracy [13]. Należy ono do Bojanica i Rouliera i ukazało się w roku 1974.