O krytycznym spojrzeniu

Wszyscy jesteśmy użytkownikami matematyki. Rachunek płacony w restauracji, zakupy w sklepie – wszystko wiąże się z koniecznością przeprowadzania rachunków. Jesteśmy jednak ludźmi i popełniamy błędy. Dlatego zarówno w matematyce, jak i w życiu, potrzebna jest umiejętność samokontroli. Powinniśmy sprawdzać każdy etap obliczeń. Szczególnie wtedy, gdy przeprowadzamy je używając kalkulatora czy arkusza kalkulacyjnego. Dostrzeżenie możliwości pomyłki jest nieodzownym elementem matematycznego doświadczenia.

Na dzisiejszych zajęciach z analizy matematycznej wyznaczałem środek ciężkości jednorodnego deltoidu o wierzchołkach $(0,2),(1,3),(4,2),(1,1)$. Otrzymałem odciętą $x_c=\frac{2}{3}$. Oczywiście rzędną jest $y_c=2$, bo nasz deltoid ma poziomą oś symetrii. Zdrowy rozsądek wskazuje na to, że środek ciężkości leżałby za bardzo na lewo. A dokładniej, pokryłby się ze środkiem ciężkości jednego z trójkątów, na jaki można podzielić deltoid. To ewidentnie niemożliwe. Ten moment jest bardzo ważny: uświadomienie sobie, że otrzymane wyniki nie są zgodne z intuicją i doświadczeniem.

Jaki popełniłem błąd? Czasem bardzo trudno do tego dojść. Chwila zastanowienia pozwoliła spostrzec, że wykonałem następujące działanie: $\frac{2}{3}+6=\frac{8}{3}$. Nikt nie jest od tego wolny. Najgorszą rzeczą jest powiedzieć: skoro tak wychodzi, to na pewno środek ciężkości leży w tym miejscu. Niedobrze jest podpierać błędne wyniki autorytetem profesora i długoletnią pracą. Tak mówię studentom ku ogólnej uciesze.

Jak nabyć umiejętność zauważania własnych błędów? To długotrwały proces. Po prostu trzeba liczyć, liczyć i liczyć. Rozwiązać wiele zadań, aby nabyć wyobrażenia o możliwych wynikach. Ale także pokora. Łatwo pomylić się, jeśli za dużo liczymy w pamięci. Dlatego nie upraszczajmy zbytnio naszych rachunków tylko dlatego, że wydaje nam się, że umiemy je sprawnie przeprowadzać. To rutyna. Najgorsza rzecz, jaka może przydarzyć się zawodowcowi.

8 komentarzy

  1. “… rutyna. Najgorsza rzecz, jaka może przydarzyć się zawodowcowi”.
    Nabierzmy nawyków kontroli poprawności rachunków przez szacowanie wyniku. $6+\frac{2}{3}$ to ciut mniej niż siedem. Osiem trzecich to mniej niż trzy. Widać różnicę a zatem i potrzebę sprawdzenia poprawności wykonania rachunku. W obliczeniach wielkości fizycznych bardzo przydatna jest kontrola wymiaru obliczanej wielkości fizycznej. Jeżeli droga ma w wyniku wykonanych działań rachunkowych wymiar fizyczny [m]+ [ km/min] to nie tylko rachunki są do luftu ale też i przekształcenia równań użytych do nich. Jednym słowem, mieć pewność ale po sprawdzeniu poprawności.

    1. Owszem, często sprawdzam jednostki. Szkoda tylko, że gdy zauważam swój błąd i pytam studentów, gdzie go popełniłem, rzadko potrafią go zlokalizować. Wtedy opowiadam co mi się nie zgadzało i dlaczego w ogóle uświadomiłem sobie, że ten błąd miał miejsce.

      Także poprawne rachunki mogą prowadzić do nonsensów. Np. przybliżając sinusa wzorem Maclaurina można dojść do tego, że $\sin 10\approx 10\pm\frac{1000}{6}$, więc $\sin 10$ to jakieś $10$ z dokładnością do ok. $170$. Jak bzdurne to przybliżenie – nie trzeba przekonywać. Powód: argument $10$ radianów leży zbyt daleko od zera, aby przybliżenie było sensowne. Dla – powiedzmy – kąta $0{,}1$ radiana, czyli ok. $5{,}73^{\circ}$, mamy $\sin 0{,}1\approx {0,1}\pm \frac{0,001}{6}$, co jest całkiem niezłym przybliżeniem. Dla kąta $0,01$ radiana czyli ok. pół stopnia, dokładność przybliżenia jest już rewelacyjna: $\frac{0,000001}{6}<10^{-5}$.

  2. Może ja zacznę od końca. Rutyna zgubiła kogoś tutaj
    \begin{align*}
    x&=\frac{(\pi+3)}{2}\\
    2x&=\pi+3\\
    2x(\pi-3)&=(\pi+3)(\pi-3)\\
    (2\pi)x-6x&=(\pi)^{2}-9\\
    9-6x&=(\pi)^{2}-(2\pi)x\\
    9-6x+x^{2}&=(\pi)^{2}-(2\pi)x+x^{2}\\
    (3-x)^{2}&=(\pi-x)^{2}\\
    3-x&=\pi-x\\
    \pi&=3
    \end{align*}
    to jako ciekawostka.
    Powiem o innego rodzaju rutynie – rutynie, która zdarza się w dziedzinach silnie powiązanych z matematyką (dlatego, że wykorzystują matematykę). Pewnego rodzaju rutyną np. w statystyce jest bezkrytyczne przyjmowanie wszystkiego co napisane jest w podręcznikach. Na przykład niektórzy podają, że w przypadku dużej próby należy zrezygnować z zastosowania testu $t$-Studenta na rzecz rozkładu normalnego. W obecnych czasach gdy za pomocą komputerów tzw. “moce obliczeniowe” zwiększyły się – do dużej próby można też stosować rozkład $t$-Studenta. Jakie są tablice obu rozkładów wiadomo. W przypadku normalnego w “boczku” i “główce” tabeli są kwantyle, zaś w środku (w tabeli) całki wyznaczające pola pod krzywą normalną. W rozkładzie t-Studenta jest inaczej – w “boczku” tabeli są stopnie swobody zaś w środku kwantyle. W zasadzie gdy $n>30$, rozkład $t$-Studenta niewiele różni się od rozkładu normalnego, więc w zadaniach przyjmuje się wartości z tablicy rozkładu normalnego – nie jest to błąd, lecz nie jest błędem również zastosowania w tym przypadku rozkładu t- studenta. Problemem kiedyś było odnalezienie odpowiedniego kwantyla przy dużej próbie a tym samym przy dużej liczbie stopni swobody – i tyle. Teraz takich problemów nie ma. Jeśli ktoś jest ciekaw, mam fajny plik, który można wykorzystać w formie ćwiczeń z tego zakresu.

    1. To samo mówię o rozkładzie $t$-Studenta na swoich wykładach ze statystyki. Podałaś bardzo ładny przykład – dziękuję. Może ze względu na późną porę, ale długo szukałem błędu.

  3. W tym przykładzie łatwiej znaleźć błąd:
    \begin{align*}
    -1&=-1\\
    \frac{-1}{1}&=\frac{-1}{1}\\
    \frac{-1}{1}&=\frac{1}{-1}\\
    \sqrt{\frac{-1}{1}}&=\sqrt{\frac{1}{-1}}\\
    \frac{i}{1}&=\frac{1}{i}\\
    i&=\frac{1}{i}\\
    i^{2}&=1\\
    -1&=1
    \end{align*}

    Inny błąd:
    Można udowodnić, że jeden kot ma $9$ ogonów. Jeżeli żaden kot ma $8$ ogonów, a jeden kot ma o $1$ ogon więcej niż żaden kot, to jeden kot ma $8+1=9$ ogonów.

    W matematyce często również zawodzi intuicja. Może ktokolwiek pamięta grę, którą prowadził Zygmunt Chajzer ,,Idź na całość”. W $3$ bramkach rozmieszczone są $2$ Zonki i nagroda – w każdej bramce po jednej rzeczy. Pierwsza decyzja nie jest trudna, bo każdy wybór daje identyczną szansę na wygraną. Wybieramy jedną z bramek. Pan Zygmunt otwiera jedną z pozostałych (wie, że jest tam zonk) i jest tam zonk. Pozostają dwie bramki – ta wybrana i ta nie wybrana. Pan Zygmunt pyta: ,,Czy chcesz zmienić swój wybór?” Jeśli pomyślimy, że nasze szanse w obu przypadkach są takie same będziemy w błędzie. Czasem warto się zastanowić kilka razy – intuicja jest zawodna – rzeczywiście trzeba spojrzeć na problem bardziej krytycznie.

    1. Nie za bardzo rozumiem zdanie ,,żaden kot ma $8$ ogonów”.

      Główna część wpisu traktuje o paradoksie więźnia. Na nim to oparty był teleturniej.

Dodaj komentarz