O pochodnych – inaczej

Dziś pokażę niestandardowy sposób wyznaczenia pochodnej funkcji potęgowej, o którym dowiedziałem się od jednego z kolegów – matematyka z Bydgoszczy. Aby go zastosować, należy widzieć, że funkcja $f(x)=x^a$ (gdzie $a\in\RR$ oraz $x>0$) jest różniczkowalna. Odpada więc wykazywanie różniczkowalności, którą założyliśmy a priori. Poniższą metodę mogą zastosować ci, którzy zapomnieli stosowny wzór.

Wszystkie obecne tu różniczkowania będą dotyczyć zmiennej $x>0$. Wyznaczmy pochodną funkcji $x\mapsto x^{a+b}$:
\[
(x^{a+b})’=(x^a\cdot x^b)’=(x^a)’\cdot x^b+x^a\cdot(x^b)’\,.
\]
Dzieląc tę równość przez $x^{a+b}$ otrzymujemy
\[
\frac{(x^{a+b})’}{x^{a+b}}=\frac{(x^a)’}{x^a}+\frac{(x^b)’}{x^b}\,.
\]
Oznacza to, że pochodna logarytmiczna funkcji potęgowej jest addytywną funkcją wykładnika. Dokładniej, zakładając, że $x>0$, funkcja
\[
\varphi(a)=\frac{(x^a)’}{x^a}
\]
jest addytywna. Jest też ciągła, co można wykazać powołując się na bardziej zaawansowane twierdzenia o funkcjach addytywnych. Tak więc funkcja ciągła $\varphi:\RR\to\RR$ spełnia równanie funkcyjne Cauchy’ego
\[
\varphi(a+b)=\varphi(a)+\varphi(b)\,.
\]
Dlatego (proszę spojrzeć do wpisu Analogie w rozumowaniu) $\varphi(a)=a\cdot\varphi(1)$. Ale
\[
\varphi(1)=\frac{(x)’}{x}=\frac{1}{x}\,.
\]
Oczywiście fakt, że $(x)’=1$, można bardzo łatwo sprawdzić z definicji pochodnej. Stąd
\[
\varphi(a)=\frac{a}{x}
\]
i ostatecznie
\[
\frac{(x^a)’}{x^a}=\frac{a}{x}\,,
\]
czyli $(x^a)’=ax^{a-1}$.

Zapraszam do wskazywania innych funkcji, których pochodne można wyznaczyć tym lub podobnym sposobem.

4 komentarze

  1. Co przyjmujesz za definicję $x^p$? Dla mnie $x^p = e^{p \log x}$, a więc używamy szeregów potęgowych. Zróżniczkowanie tej funkcji to proste zastosowanie reguły łańcuchowej:

    $$ \frac{{\rm d}}{{\rm d}x}x^p = \frac{{\rm d}}{{\rm d}x} e^{p \log x} = \frac{p}{x}x^p = px^{p-1}.$$

    Nie jestem pewien czy rozumiem korzyść w użyciu Twojego podejścia; zauważ że pierwsza własność na którą się powołujesz ($x^{a+b} = x^a\cdot x^b$) jest całkiem nietrywialna i wynika albo z użycia iloczynów Cauchy’ego albo przynajmniej z twierdzenia o wartości średniej.

    1. Dziękuję za przedstawienie równie prostej metody zróżniczkowania tej funkcji. Również ona nadaje się dla zapominalskich. Mój wpis miał na celu pokazanie związku pochodnej funkcji potęgowej z równaniem funkcyjnym Cauchy’ego. Chciałem pokazać, że przy spełnieniu dość oczywistych warunków (założenie różniczkowalności) można tę pochodną wyznaczyć względnie łatwo, a przecież równanie Cauchy’ego $\varphi(a+b)=\varphi(a)+\varphi(b)$ jest jednym z najbardziej podstawowych w matematyce. Oczywiście wszystko jest kwestią gustu.

      Bardzo serdecznie pozdrawiam.

Dodaj komentarz