Rozmowa między trzema osobami

W sylwestrowy wieczór roku 2015 Pan Wojciech Myszka umieścił na stronach swojego kursu LaTeX-a siatkę dwunastościanu foremnego z naniesionym na nią kalendarzem na rok 2016. Po sklejeniu kalendarz opublikowałem jako komentarz do wpisu Autora. Stwierdziłem, że świat jest matematyczny. Jakie to miało następstwa? Zapraszam do lektury.


Kalendarz an 2016

Słowa o matematyczności świata skłoniły Pana Mariusza Rozpędka do zabrania głosu w dyskusji. Oprócz niego wzięli w niej udział Pan Wojciech Myszka oraz ja. Za zgodą obu Rozmówców prezentuję zapis dyskusji. Nic nie stoi na przeszkodzie, aby kontynuować ją w komentarzach.

Szymon Wąsowicz

Świat jest matematyczny. Dwunastościany foremne znajdziemy też we wpisie Matematyka na placu zabaw.

Mariusz Rozpędek

A ja uważam, że świat bynajmniej nie jest matematyczny. Za to matematyka, wytwór ludzkiego umysłu, pomaga nam ten świat zrozumieć i/lub opisać w sposób zrozumiały dla naszych
umysłów.

Szymon Wąsowicz

Tak samo realnie nie istnieją całka czy pochodna. To też są twory języka matematyki. Tylko czemu te pojęcia są tak przydatne inżynierom?

Wojciech Myszka

Spokojnie Panowie, bo zaraz Boga wymyślicie. 🙂

A tak na marginesie to bardzo ciekawy temat do dyskusji. Na szybko polecam przeciekawy wywiad z prof. Meissnerem na temat kosmologii. Tytuł (Człowiek nie jest mokrym komputerem) nie oddaje sensu całej rozmowy, ale jest tam sporo o fizyce i nieco o matematyce. Niestety, w Dużym Formacie. Może jeszcze gazeta gdzieś na stacji benzynowej się ostała. A rozmowa znakomita (czytałem nie mogąc się oderwać).

Szymon Wąsowicz

Nie istnienie wielościanów, prostych (idealnych) to chyba odwieczny problem filozofii matematyki: tworzymy czy odkrywamy. Na marginesie prosta jest bytem idealnym, a ta na kartce papieru jego desygnatem. Mnie też zaciekawił wpis Mariusza o niematematyczności świata. Rzeczywiście, ciekawy temat do dyskusji.

Mariusz Rozpędek

Kalendarz, czas, rzeczy ostateczne, filozofia bytu to częsty i dla mnie naturalny ciąg skojarzeniowy. Uważam takie rozpoczęcie roku za świetny początek. Daleko mi do tego, abym uważał się za filozofa, ale filozofia to dla mnie ważny „kawałek” rzeczywistości. Myślę, że nie sprostam żadnemu matematykowi „w boju” na jego terenie – ale może chociaż posieję ziarenko wątpliwości… 🙂

Otwartym zagadnieniem pozostaje, jak dalece możemy zbliżyć nasze postrzeganie tematu. Przypomina mi się jedna z rozmów, z moim przyjacielem. Rozmawiając o filozofii ustaliliśmy pewien światopoglądowy „punkt początkowy”, od którego trzeba zacząć rozważania – jest nim odpowiedź na pytanie o to, czy świat istnieje. To punkt dychotomii, od którego część rozważań i wniosków staje się wzajemnie niekompatybilna na obu ścieżkach. Myślę, że pytanie o matematyczność świata jest zagadnieniem pokrewnym.

Szymon Wąsowicz

Kwestię istnienia postrzegam po platońsku, jak już wspomniałem. Są mianowicie byty idealne, pojęcia abstrakcyjne. W rzeczywistości fizykalnej są ich desygnaty. Owszem, na naszej planecie nie zrealizujemy idealnej prostej. Ale lokalnie (kartka papieru, nawet obszar miasta) mamy jej bardzo dobre przybliżenia. Badając byty idealne odrywamy się od uwarunkowań praktycznych i możemy dostrzec znacznie więcej przez proces abstrakcji. Tak samo z fizyką: ruch jednostajnie przyspieszony (dla przykładu) modelujemy w próżni, ale na małych odległościach możemy zaniedbać opór powietrza i tu abstrakcyjny model matematyczny daje świetne przybliżenia rzeczywistości.

Ciekawe są badania w inną stronę. Niedawno ktoś z mojej uczelni zrobił i oprogramował model samochodu pożarniczego. Istotą był wysoko położony środek ciężkości. Przeprowadził symulacje komputerowe i z użyciem modelu. A potem realny kierowca jeżdżąc realnym samochodem wykonywał to samo w rzeczywistości. I wyszła doskonała zgodność z modelem. Urzeka mnie to.

A samo istnienie obiektów matematycznych? To właśnie idee. Ale chyba związane mimo wszystko z praktyką w ten sposób, że aksjomaty nie zostały wymyślone jako sztuka dla sztuki, ale wyabstrahowane z obserwacji rzeczywistości. Wtórnie pojęcia zostały wyidealizowane, badane są w abstrakcji, a następnie wraca się do rzeczywistości. Taka metoda okrężna.

Reasumując, pojęcia matematyczne (moim zdaniem) istnieją jako idee.

Mariusz Rozpędek

Wojciechu, wielkie dzięki za ten odsyłacz – faktycznie ciekawy. I widzę związek z Twoim przywołaniem boga. Dla mnie, jako ateisty i skrajnego materialisty (czy może raczej „energetysty” 😉 ), te eony Rogera Penrose’a są fascynujące, ale jednocześnie trochę „zalatują” ślepą uliczką. Bodajże Dawkins zauważył, że przywoływanie „stwórcy” nie wyjaśnia istnienia rzeczywistości, a jedynie przesuwa odpowiedź o „poziom wyżej”. Na podobny konstrukt wyglądają mi eony, aczkolwiek wolę to od inteligentnego i świadomego kreatora. To jakby inne ujęcie koncepcji wieloświatów, czy wszechświatów potomnych. Ale arcyciekawe – zwłaszcza w zakresie objaśnienia początkowego uporządkowania wszechświata i „kasowania” entropii poprzedniego.

Nie przeczytałem jeszcze całości, ale na pewno daleki jestem od wszelkiego platonizmu. Co nie oznacza, że nie widzę jak wiele racji miał Platon, opowiadając o tej swojej „jaskini”. Tym niemniej trochę irytują mnie różne sofistyczne wybiegi – choćby Michała Hellera. To że nigdy mu nie dorównam w zagadnieniach szczegółowych, nie oznacza wszak że racja jest po jego stronie… 🙂

Mariusz Rozpędek

Szymonie, myślę, że „wyabstrahowane z obserwacji rzeczywistości” to kluczowy trop dla zrozumienia mojego stanowiska.

Szymon Wąsowicz

Tak więc za jedno ze źródeł matematyki można by uznać nasze doświadczenie. Bliska Ci jednak platońska jaskinia, odzwierciedlenie interakcji między światem idei, a światem bytów realnych. Podstawową kwestią ontologiczną jest istnienie, w szczególności tworów matematycznych i opisujących je twierdzeń. Nie istnieje idealny wielościan – prawda. Istnieje jego idea w jakiś obiektywny sposób. Zawsze wydawało mi się, że tak samo istnieją (bardziej egzystują) twierdzenia matematyczne. W pewien niezależny od ludzkiego poznania sposób. Hipoteza continuum. W 1963 Paul Cohen dowiódł jej niezależności od aksjomatów teorii mnogości Zermelo–Fraenkla. Nie można jej ani dowieść, ani obalić. Ale obiektywnie jest albo prawdziwa, albo fałszywa. Tylko my nie wiemy, która możliwość zachodzi. To przekracza nasze poznanie. Na istnienie bytów idealnych może być zgoda, może nie być. Jeśli one istnieją, to chyba też poza granicami poznania, a przynajmniej konstruowalności.

Nie da się chyba znaleźć jednej recepty, autorytatywnej odpowiedzi czy te obiekty istnieją i jeżeli tak, to w jaki sposób. Jest wiele stanowisk filozoficznych. Każda jednak świadoma osoba ma własny pogląd na te rzeczy.

Mariusz Rozpędek

Zgadzam się – postulując istnienie bytów idealnych, nie sposób ani dowieść ich istnienia, ani obalić takowe twierdzenie. Znajdują się zatem w sferze nieweryfikowalnej, której nie sposób poddać testowaniu. W takim ujęciu stają się przedmiotem wiary. W związku z tym najbezpieczniej byłoby przyjąć, wobec tak sformułowanego zagadnienia, stanowisko agnostyczne. Ale taka pozycja, choć wygodna, nie przybliża nas do rozpoznania istoty sprawy (w istocie jest to unik).

Z twierdzenia Gödla, o niedowodliwości niesprzeczności, można wywieść ogólniejsze przekonanie, że poprawności i prawdziwości systemów matematycznych nie da się dowieść stosując język samej matematyki. Co więcej – dla każdego metajęzyka wyższego rzędu będzie potrzebny system jeszcze wyższego rzędu – obarczony takim samym problemem niedowodliwości.
Mimo tego mamy jednak do czynienia z szeregiem osobistych przeświadczeń matematyków, wierzących w realność bytów którymi operują. Z czego może wynikać takie przeświadczenie? Każdy z nas jest tworem ewolucji. Są nimi również nasze mózgi, ukształtowane do przetwarzania informacji dotyczących otaczającego nas środowiska. Choćby nie wiem jak złożony i abstrakcyjny problem miały te nasze mózgi do przetworzenia, to nie umkną ograniczeniom własnej budowy i własnej adaptacji. Zatem, zarówno realnie istniejący wydrążony pień drzewa, jak i całkowicie abstrakcyjny idealny walec, muszą być przetwarzane przez te same części układu nerwowego. W rzeczywistości jednak, kora ruchowa mózgu, zajmująca się takimi zadaniami, przetwarza jedynie zinternalizowane reprezentacje świata zewnętrznego (tzw. „qualia”). Wtykając nasz palec w taką drewnianą rurę – w gruncie rzeczy wtykamy naszą wewnętrzną reprezentację tego palca, w naszą wewnętrzną reprezentację tej rury. Lecz postrzegamy to jako czynność rzeczywistą, bo nasze zmysły na bieżąco korygują i potwierdzają subiektywne doznania. Z tego powodu, z czasem (na skutek treningu), byty abstrakcyjne mogą stać się tak samo rzeczywiste dla umysłu, jak te obiektywnie istniejące. Trening w przetwarzaniu bytów wyidealizowanych utrwala ich wewnętrzne reprezentacje i czyni z nich obiekty integralne. Ponieważ jedynymi bytami na których faktycznie może operować umysł są qualia (a nie byty istniejące realnie/obiektywnie) to z czasem zaciera się rozróżnienie pomiędzy reprezentacją „konkretu” i jego wersji wyidealizowanej. Nasz indywidualny „matrix” wzbogaca się o nowe obiekty. Bowiem metafora jest właśnie tym, na czym zasadza się istota platońskiej jaskini i kwestia jej bytów idealnych. Ćwicząc się w abstrahowaniu od konkretu, generujemy w naszym umyśle kolejne (wyidealizowane) qualia, które stanowią uproszczoną wersję swoich zmysłowych reprezentacji. To upraszczanie jest ekonomiczne, bo zmniejsza koszty przetwarzania informacji (choćby energetyczne) – jest zatem pozytywnym (korzystnym) aspektem naszej ewolucyjnej adaptacji do rzeczywistości. Ale bazując na tych samych strukturach, co qualia odzwierciedlające byty fizykalne, tworzy złudzenie realności bytów abstrakcyjnych. Dzieje się to na poziomie najniższym, neuronalnym – a więc nie podlegającym świadomej kontroli ani rozpoznaniu.

Zgadzamy się co do tego, że matematyka jest językiem opisu (świata). Można więc przytoczyć inne porównanie, dotykające bardziej psychologicznego aspektu takowego opisu. Pisarze, którzy tworzą światy wyimaginowane, opisują nieraz swoje zagłębianie się w wytworach własnej wyobraźni. Im bardziej rozbudowana i skomplikowana jest taka kreacja, tym bardziej wciąga i pochłania jej opisywanie. Zwykle sądzimy, że ta swoista fascynacja dotyczy bardziej czytelników (fanów), ale ona dotyka również samych autorów. Tworząc swą narrację zaczynają żyć tworami własnej wyobraźni i zanurzają się w tworzony świat – a powroty bywają trudne. Zdarza się, że tak trudne, że na szwank wystawiane jest zdrowie psychiczne twórcy. Jeśli zatem można wpaść w taką pułapkę, używając neuronów do tworzenia literackiej fikcji, to czy tym bardziej nie grozi nam ona gdy przetwarzamy obiekty wyidealizowane – a więc uproszczone i łatwiejsze „w obróbce”?

Z mojego punktu widzenia, możemy zatem rozpatrywać jedynie stopień tożsamości – czyli dokładność odzwierciedlenia rzeczywistości, dokonywany w ramach języka matematyki. Ale nie „realność” jej świata jako takiego. Niewątpliwie można przywołać konstrukty matematyczne, które – choć wynikają logicznie z określonych ustaleń, nie znajdą odzwierciedlenia w świecie realnym. Wspomniał o tym np. Stanisław Lem, porównując matematykę do szalonego krawca, szyjącego fantazyjne i hipsterskie ubrania. Ich użyteczność sprawdza się wtedy, gdy spośród nich fizycy (albo chemicy czy biolodzy) wybierają coś – co akurat pasuje na „stwora” którego złapali. Czasem trzeba co prawda coś nieco przyciąć, albo coś doszyć, ale po tym dopasowaniu stworek jest ubrany (w swój matematyczny model).

I tu docieram do kolejnej kwestii – czy przypadkiem nie jest tak, że przynajmniej część matematycznych odkryć, oraz problemów – to są po prostu meandry semantyki języka? Skoro mowa o języku, to można przywołać Noama Chomsky’ego i jego „niewidzialne zielone idee śpiące wściekle”. To zdanie, choć bezsensowne, jest semantycznie poprawne. Nie mając pewnej (i zupełnej) wiedzy o świecie, nie bylibyśmy jednak w stanie stwierdzić jego nieprzystawalności do rzeczywistości. W takiej sytuacji musiałoby dołączyć do kompleksu innych zdań „poprawnych”, powiększając kolekcję owego lemowego krawca.

Cóż pozostaje? Ano jedynie subiektywne przeświadczenie, oparte na subiektywnych odwzorowaniach, będących abstrakcjami zinternalizowanych odwzorowań świata obiektywnie istniejącego. To jest właśnie owa platońska „jaskinia” – która wszak istnieje a posteriori, w stosunku do rzeczywistości. Zapewne kuszące jest założenie, że byty uproszczone i dlatego estetycznie pociągające – bo pozbawione „wad” – są uprzednie do siermiężnych bytów realnych. Ale to tylko nieporozumienie umysłu internalizującego świat, który byt uproszczony jest skłonny uznać za matrycę. Może jest tak dlatego, że taki obiekt – wyabstrachowany i odarty ze szczegółów, łatwiej jest przetwarzać? A tańsze jest lepsze. A może dlatego, że wmówiono nam potrzebę istnienia bytu doskonałego, który usprawiedliwia wszelkie wady rzeczywistości? Tylko że sam fakt, że język pozwala o tym mówić, nie dowodzi prawdziwości tego bytu, ani kierunku jego ontogentycznych związków.

Zatem wracamy do indywidualnych przekonań – czyli wiary. I znowu przytoczę zabawy z semantyką. Ktoś zażartował, że pogląd o istnieniu „niewidzialnych różowych jednorożców” opiera się na logice i wierze. Wyznawcy wierzą, że są one różowe, a z faktu że ich nie widać logicznie wynika, że są niewidzialne. Owa sprzeczność ma dowodzić ich doskonałości. Dochodzi jeszcze ważny aspekt estetyczny. Jednorożce cechuje bowiem najpiękniejszy możliwy kolor, bo to kolor nieistniejący… Taką samą relację postrzegam w kwestii istnienia platońskich bytów „doskonałych”: nikt ich nie zaobserwował w „naturze”, ich piękno leży w ich nieobserwowalnej doskonałości, a ich wyznawcy wierzą w ich obiektywne istnienie… 🙂

Szymon Wąsowicz

To ostatnie zdanie jest duchem powyższego komentarza. Zgadzam się, istnienie bytów idealnych to kwestia wiary. Bardzo trafnie opowiedziałeś tu o metajęzyku. Cała ta dyskusja była dla mnie interesująca. Dziękuję obu Rozmówcom za zabranie głosu.

5 komentarzy

  1. Świetny wywiad, jako bloger zostałeś ewangelistą matematyki i to jest sedno sprawy – wiara i wierzący, który broni wiary w jakiej wyrósł, poznał i najlepiej ją rozumie. Pytanie czy nie jest tak, że to w co się wierzy staje się naszą rzeczywistością. 🙂

    1. Czy wyrosłem w platonizmie? Trwam w nim od ukończenia studiów i wraz z upływem czasu coraz bardziej się do niego przekonuję. Osoba parająca się działalnością naukową powinna mieć jakiś pogląd na sprawy ontologiczno–teoriopoznawcze. Sama dyskusja była dla mnie pasjonująca, gdyż Mariusz w niezmiernie ciekawy i wysoce kulturalny sposób zaprezentował inny sposób patrzenia na te rzeczy, za co Mu jeszcze raz dziękuję.

  2. Mam tylko taką jedną myśl która mnie naszła w trakcie czytania tej rozmowy. Człowiek “wyłapuje” ze świata fizycznego różne kształty, wielkości, własności by następnie opisywać je za pomocą języka matematyki. Później człowiek działa na tych obiektach, robi różne rzeczy, dostrzega analogie i okazuje się, że te różne działania i wnioski z nich płynące znajdują przydane zastosowanie w fizycznym świecie, takie do którego być może bez tego abstrakcyjnego rozumowania nigdy byśmy nie doszli. Jednak pytanie jest takie: Czy wszystkie obiekty i ich własności oraz twierdzenia odkryte przez matematyków (czy jak kto woli, wymyślone), mają zastosowanie w fizycznym świecie? Czy jednak matematyka jest już tworem żyjącym samym dla siebie (no i matematyków… 😉 ), jedynie jakiś jej kawałek znajdzie zastosowanie w codziennym życiu? Moim zdaniem skoro matematyka opisuje wszechświat, to wszystkie jej obiekty powinny znaleźć takie zastosowanie. Jak wiadomo, matematyka nie może być dziedziną zamkniętą, nowe obiekty, twierdzenia i wnioski będą w niej odkrywane wiecznie, może za pewną granicą abstrakcji zaczyna się opis innych wszechświatów? A może jednak nie wszystko co zostanie, czy zostało odkryte w matematyce ma swoje zastosowanie? Mój osobisty pogląd jest taki (ale to może tylko dlatego, że ją studiuję), że cała matematyka ma zastosowanie w realnym świecie. Może to się wydawać dziwny pogląd, bo na przykład jaką użyteczność może mieć twierdzenie, że “każde ciało posiada rozszerzenie będące ciałem algebraicznie domkniętym”? Oczywiście jest to twierdzenie bardzo abstrakcyjne i być może ciężko nam sobie wyobrazić jakie ma zastosowanie ale zastanówmy się, jak abstrakcyjne jest matematyczne podłoże obecnej informatyki. Jeszcze kilkaset lat temu nikt by nie myślał, że te obiekty matematyczne kiedykolwiek znajdą zastosowanie w przyszłości. Wtedy dla ludzi pomocne było zapewne liczenie powierzchni, szacowanie oczekiwanych zbiorów z upraw itp., w obecnych czasach bardziej zaawansowana matematyka znajduje także swoje zastosowanie, a co będzie za 2000 lat? Może paradoks Banacha–Tarskiego posłuży do rozmnażania naszych statków kosmicznych kolonizujących kosmos? 😀

    1. Dziękuję za interesujący komentarz i (prawdę mówiąc) wkład do dyskusji. Sądzę, że niektóre twierdzenia dopiero czekają na swoje zastosowania. Zobaczmy jak było z liczbami pierwszymi. Rozkład na czynniki pierwsze był taką sobie dziecinną zabawą do czasu, gdy pojawiły się algorytmy nowoczesnego szyfrowania typu RSA. A teraz poszukiwanie coraz to większych liczb pierwszych jest testem dla superkomputerów. Kiedyś teorię liczb nazywano królową nauk matematycznych ze względu na (jak wtedy sądzono) zupełny brak zastosowań. Teraz to dziedzina wiedzy o znaczeniu… strategicznym.

Dodaj komentarz