Rozrzutnie czy oszczędnie?

Oszacowania analizy matematycznej mają różną naturę. Niekiedy można sobie pozwolić na rozrzutność, a innym razem potrzeba dużej precyzji. Dziś pokażę dwa przykłady rozumowań tego rodzaju. Jedno poprowadzę rozrzutnie, a drugie oszczędnie.


Twierdzenie o trzech ciągach

Oba przykłady związane są z twierdzeniem o trzech ciągach. Jest ono dostępne każdemu studentowi, który w planie studiów ma matematykę. Mówi ono, że jeśli trzy ciągi liczbowe $(a_n),(b_n),(c_n)$ spełniają warunek: dla każdego $n\in\NN$ zachodzi nierówność $a_n\xle b_n\xle c_n$ oraz ciągi ,,skrajne” $(a_n),(c_n)$ są zbieżne do tej samej granicy (właściwej) $a$, to ciąg ,,środkowy” $(b_n)$ też jest zbieżny do $a$.

Wykażę najpierw, że $\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{2^n+3^n}=3$. Zauważmy, że dla każdego $n\in\NN$ mamy\[3^n\xle 2^n+3^n\xle 3^n+3^n=2\cdot 3^n\,.\]Jak rozrzutne są te oszacowania! Przecież dodana w pierwszej nierówności liczba $2^n$ jest niezmiernie wielka, jeśli tylko $n$ jest dostatecznie dużą liczbą naturalną. Podobny charakter ma i druga nierówność. Jednak pierwiastkując te nierówności stronami dochodzimy do nierówności\[3\xle\sqrt[n]{2^n+3^n}\xle 3\cdot\sqrt[n]{2}\,.\]Ponieważ $\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{2}=1$, to ciągi skrajne są zbieżne do $3$, więc wobec twierdzenia o trzech ciągach $\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{2^n+3^n}=3$.

Drugi przykład pokazuje potrzebę przeprowadzania oszczędnych oszacowań. Wykażę, że\[\lim\limits_{n\to\infty}\biggl(\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{n^2+2}}+\dots+\frac{1}{\sqrt{n^2+n}}\biggr)=1\,.\]Powyższa suma ma $n$ składników. Mianownik każdego z nich jest większy niż $n$, więc\[\frac{1}{\sqrt{n^2+k}}<\frac{1}{n}\quad\text{ dla }k=1,2,\dots,n\,.\]Dlatego cała suma jest mniejsza niż $n\cdot\frac{1}{n}=1$. Jak oszacować tę sumę z dołu? Patrząc na poprzedni przykład można by zapisać\[\frac{1}{\sqrt{n^2+k}}\xge\frac{1}{\sqrt{n^2+n^2}}=\frac{1}{\sqrt{2n^2}}=\frac{1}{n\sqrt{2}}\quad\text{ dla }k=1,2,\dots,n\,.\]Dlatego (po dodaniu tych $n$ nierówności stronami) nasza suma jest nie mniejsza niż $n\cdot\frac{1}{n\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$. Dochodzimy do nierówności podwójnej\[\frac{1}{\sqrt{2}}\xle\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{n^2+2}}+\dots+\frac{1}{\sqrt{n^2+n}}<1\,,\]która w kontekście twierdzenia o trzech ciągach nie jest użyteczna, bo (stałe) ciągi ,,skrajne'' nie zmierzają do tej samej granicy. Musimy więc poprawić lewe oszacowanie. Właśnie tu potrzeba większej delikatności. Poprzednie oszacowanie liczb $k\in\{1,2,\dots,n\}$ z góry przez $n^2$ było zbyt rozrzutne. Zauważmy jednak, że można te liczby spokojnie oszacować przez $n$:\[\frac{1}{\sqrt{n^2+k}}\xge\frac{1}{\sqrt{n^2+n}}\quad\text{ dla }k=1,2,\dots,n\,.\]Po dodaniu tych $n$ nierówności stronami dochodzimy do nierówności\[\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{n^2+2}}+\dots+\frac{1}{\sqrt{n^2+n}}\xge\frac{n}{\sqrt{n^2+n}}\,.\]Podsumowując, po drobnych przekształceniach otrzymujemy nierówność podwojną\[\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}}\xle\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{n^2+2}}+\dots+\frac{1}{\sqrt{n^2+n}}<1\,,\]która pozwala na wyciągnięcie właściwego wniosku, bo oba ,,skrajne'' ciągi są zbieżne do $1$. Wykazaliśmy więc, że\[\lim\limits_{n\to\infty}\biggl(\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{n^2+2}}+\dots+\frac{1}{\sqrt{n^2+n}}\biggr)=1\,.\] W matematyce jest więc tak jak w życiu. Czasem można pozwolić sobie na rozrzutność, czasem jednak trzeba być oszczędnym. Nie zawsze wiemy jednak kiedy i to jest najciekawsze.

9 komentarzy

  1. Fajne i ciekawe spojrzenie na te dwa proste zastosowania twierdzenia o 3 ciągach 🙂

    Dziękuję i czekam na kolejne wpisy. Czytam każdy jeden z nich!

    1. Masz rację, Sylwku, to proste zastosowania. Ale to twierdzenie jest naprawdę mocne, gdy je umiejętnie stosować.

  2. Cóż za zbieg okoliczności: wczoraj męczyłem się nad podobną granicą tylko bez pierwiastków i przed nawiasem $n$. 🙂

    1. Życie składa się ze zbiegów okoliczności. W odpowiednim czasie spojrzałeś na odpowiednią stronę. Inny zbieg okoliczności – jesteśmy imiennikami.

      1. Ja dodałbym więcej: pan jest matematykiem – ja studentem matematyki. Mieszkam na Śląsku – pan (z tego co widzę) chyba też. 🙂 Więcej jest tych zbiegów okoliczności. 🙂

Dodaj komentarz