Subtelności liczenia pieniędzy, część I

W trakcie mojej kariery nauczyciela akademickiego kilka razy zdarzyło mi się wykładać przedmiot zwany matematyką finansową. Do prawdziwej matematyki finansowej opartej na rachunku prawdopodobieństwa było mu daleko. Nazwa Arytmetyka finansowa zaproponowana przez Mieczysława Dobiję i Edwarda Smagę – autorów podręcznika pod tym tytułem – lepiej oddaje charakter wiedzy, jaką przekazywałem.


20 dolarów
© Darren Hester for openphoto.net

Zajmowałem się więc procentem składanym i jego zastosowaniem w – a jakże – liczeniu pieniędzy: rachunku lokat terminowych, oprocentowaniu wkładów oszczędnościowych, planach spłaty kredytów i wreszcie w rachunku rent. Dla matematyka są to proste rzeczy. Jedna zasada mówiąca, że jeśli należne po danym okresie odsetki z lokaty dopiszemy do kapitału i tak powiększoną sumkę pozostawimy bankowi na następny okres, to te odsetki też będą procentować.

Matematyk jest ciekawy i dociekliwy. Już w tym miejscu można by spytać, jak te odsetki procentują. Jest całkowicie jasne, że im dłuższy czas oszczędzania, tym większy zgromadzimy kapitał. Jeśli lokatę utrzymujemy dostatecznie długo, to z ustalonego kapitału początkowego możemy uzyskać każdą kwotę, o jakiej zamarzymy.

Przejdźmy do konkretu. Dysponujemy kapitałem $K$ (w złotówkach, euro, dolarach, frankach szwajcarskich, jenach czy innej walucie). Będziemy mówić, że mamy $K$ jednostek pieniężnych (jp). Dla prostoty założymy, że nasza lokata jest roczna, czyli po upływie roku należne odsetki będziemy dopisywać do kapitału na następny rok. Nazywamy to kapitalizacją odsetek. W naszym kontekście będziemy więc mówić o kapitalizacji rocznej. Niech roczna stopa procentowa (czasem nazywana stopą zwrotu) wynosi $r$. Czasem tę stopę wyrażamy w procentach, ale matematykom łatwiej jest używać ułamków. Tak więc stopę zwrotu $10\%$ zapiszemy jako $r=0{,}1$.

Po roku odsetki należne od kapitału $K$ mają wartość $Kr$. Dlatego, dopisując je do początkowego kapitału $K$, na drugi rok będziemy dysponowali kapitałem $K_1=K+Kr=K(1+r)$. Odsetki od tego kapitału to $K_1r$, a kapitałem po zakończeniu drugiego roku (czyli początkowym na trzeci rok) jest\[K_2=K_1+K_1r=K_1(1+r)=K(1+r)(1+r)=K(1+r)^2.\] Nietrudno już spostrzec, że kapitał początkowy $K$ po utrzymaniu lokaty z kapitalizacją roczną przy rocznej stopie procentowej $r$, ma po $n$ latach wartość\[K_n=K(1+r)^n.\tag{1}\label{eq1}\] Jest to podstawowy wzór dotyczący procentu składanego. Proszę uwierzyć, że wystarczy on np. do ułożenia planu spłaty kredytu. Oczywiście nie w bezpośredniej formie, bo też nieco inaczej kapitalizuje się odsetki, stopy procentowe niekoniecznie dotyczą roku itp. Jednak aparat matematyczny pojęciowo nie wychodzi poza wzór \eqref{eq1}.

Wróćmy do anonsowanej już kwestii możliwości otrzymania z lokaty dowolnie pomyślanej kwoty. Tak! To tylko kwestia odpowiedniego czasu utrzymania lokaty.

Przypuśćmy, że dysponujemy kapitałem początkowym $K$ jednostek pieniężnych (jp). Spytajmy, po ilu latach można z niego uzyskać dziesięć razy tyle, ile mieliśmy na początku (czyli $10K$ jp) przy rocznej stopie procentowej $5\%$. Dla przypomnienia — mowa o kapitalizacji rocznej. Mamy więc proste równanie: $K_n=10K$. Ale wobec wzoru \eqref{eq1} mamy\[K(1+r)^n=10K.\] Po uwzględnieniu $r=0{,}05$ i uproszczeniu przez $K$ dochodzimy do równości $1{,}05^n=10$ i po zlogarytmowaniu (logarytmem dziesiętnym — oj, któż lubi tę zmorę) otrzymujemy
\begin{align*}
\log 1{,}05^n&=\log 10\\
n\log 1{,}05&=1\\[1ex]
n&=\frac{1}{\log 1{,}05}\approx 47{,}19\text{ (lat).}
\end{align*} Na osiągnięcie założonego efektu musimy więc trochę poczekać. Gdyby rodzice założyli mi taką lokatę w chwili urodzenia, za rok miałbym dziesięciokrotność początkowego wkładu. Całkiem nieźle. W sferze finansów okresy krótkoterminowe nie dają bowiem dobrego pomnożenia pieniędzy. Tu liczy się spokój i czas.

W nawiązaniu do powyższego zdania spytajmy, jakim kapitałem dysponowałbym w wieku osiemnastu lat? Według wzoru \eqref{eq1} miałbym\[K_{18}=K\cdot 1{,}05^{18}\approx 2{,}406619K.\] Oznacza to tylko mniej niż dwu i pół krotne pomnożenie kapitału. Np. z $10\,000$ zł otrzymałbym $24\,066{,}19$ zł. Pomnażanie kapitału nie działa liniowo. Dziesięciokrotne pomnożenie po $50$ latach nie oznacza czterokrotnego pomnożenia po dwudziestu latach, ale znacznie mniejsze. Wzór \eqref{eq1} nie ma charakteru liniowego, lecz wykładniczy. Większy kapitał daje większe pomnożenie (bezwzględnie, czyli nie w stosunku do kapitału początkowego, lecz liczbowo). Narosłe przez lata odsetki też się pomnażają i w tym tkwi siła.

Zapraszam do własnych eksperymentów z procentem składanym i wzorem \eqref{eq1}.

Nie sposób w krótkim felietonie opisać wszystkiego, co chce się powiedzieć. Dlatego następny odcinek opowie o nieco innych subtelnościach drzemiących w procencie składanym. Któż nie lubi brzęku monet lub szelestu papierów w portfelu? A pieniądz ma bardzo miłą własność: nie tylko się mnoży, ale i dodaje. Matematyka potrafi wyjaśnić te mechanizmy. Nieprzypadkowo szefami banków czy instytucji ubezpieczeniowych bywają matematycy.

4 komentarze

    1. W dotychczasowej praktyce związanej z matematyką (arytmetyką) finansową nie zajmowałem się opcjami ani innymi instrumentami finansowymi. Gdy trzeba będzie się tym zająć – nauczę się. 🙂 Życząc miłych wakacji serdecznie pozdrawiam.

  1. Z tego co ja się orientuję, to wycena opcji jest bardzo trudnym problemem. Instytucje finansowe często nie radzą sobie z tym dobrze. Jeśli zaczynamy od procentu składanego, to mamy przed sobą jeszcze długą drogę. Temat niewątpliwie jest ciekawy nie tylko dla matematyków. Czekam na część II (i może kolejne).

    1. Część II niebawem. Cykl planuję jednak poświęcić różnym aspektom procentu składanego nie wchodząc w bardziej zaawansowane rzeczy. A na wycenie opcji zwyczajnie się nie znam.☺

Dodaj komentarz