Subtelności liczenia pieniędzy, część II

Pierwszy odcinek nowego cyklu pokazał mechanizmy procentu składanego i możliwość uzyskania z ustalonego kapitału początkowego dowolnie pomyślanej kwoty, co było jedynie kwestią czasu oszczędzania. Dziś opowiem o tym, jakie znaczenie dla pomnożenia naszych pieniędzy ma sposób zaokrąglania stóp procentowych.


20 dolarów
© Darren Hester for openphoto.net

Któż nie lubi liczyć pieniędzy, a szczególnie cudzych bądź jeszcze nie zarobionych? Matematyka finansowa pozwala na odrobinę fantazji. Przypuśćmy więc, że dysponujemy dużym kapitałem, który chcemy na długi czas zdeponować na lokacie. Oczywiście nie jest to najlepszy sposób pomnażania kapitału, który raczej należy inwestować. Nie zajmujemy się jednak ekonomią, lecz matematycznymi aspektami procentu składanego. Niech naszym kapitałem będzie wobec tego jeden milion złotych. Przynajmniej dla mnie jest to suma astronomiczna. To postrzeganie może się jednak zmienić, gdy wygram w Lotto. 🙂

Chcielibyśmy nasz kapitał pięciokrotnie pomnożyć po dwudziestu latach na lokacie z roczną kapitalizacją odsetek. Spytajmy najpierw, jaka powinna być roczna stopa procentowa. Oznaczając przez $K$ nasz kapitał początkowy i przez $r$ roczną stopę procentową otrzymujemy (proszę spojrzeć na poprzedni odcinek cyklu) równanie\[K(1+r)^{20}=5K,\]z którego wyznaczamy\[r=\sqrt[20]{5}-1.\]To punkt startowy naszej historii.

Gdy weźmiemy kalkulator, łatwo znajdziemy przybliżenie $r\approx 0{,}0837983867$. Mało kto podaje stopy procentowe w aż tak dokładnym przybliżeniu. Przyjrzyjmy się więc, jak sposób zaokrąglania stopy procentowej wpływa na kapitał końcowy. Zgodnie z umową dysponujemy kapitałem $K=1\,000\,000$ zł, który deponujemy na lokacie z roczną kapitalizacją odsetek przez okres $20$ lat przy rocznej stopie procentowej $r$. Kapitałem końcowym jest\[K_{20}=K(1+r)^{20}=1\,000\,000\cdot(1+r)^{20}.\]Spodziewamy się pięciokrotnego pomnożenia kapitału.

Najprostszym przybliżeniem naszej stopy jest $r=0{,}08$ (stopa ośmioprocentowa). Wtedy (zaokrąglając kwoty pieniężne do groszy) mamy\[K_{20}=1\,000\,000\cdot 1{,}08^{20}=4\,660\,957{,}14\text{ zł},\]co oczywiście daje zdecydowanie za małe pomnożenie kapitału. Tracimy (szczerze mówiąc nie otrzymujemy) aż $5\,000\,000-4\,660\,957{,}14=339\,042{,}86$ zł. Za taką sumę można zbudować niewielki dom.

Przyzwoity efekt daje dopiero zaokrąglenie $r=0{,}083798
$ (do jednej dziesięciotysięcznej procenta). Wtedy\[K_{20}=1\,000\,000\cdot 1{,}083798^{20}=4\,999\,964,32\text{ zł},\] więc nie otrzymujemy (w stosunku do założonego efektu) jedynie $35{,}68$ zł.

Morałem dzisiejszej opowieści jest to, że sposób zaokrąglania stóp procentowych może mieć duży wpływ na końcową wartość kapitału. Dlatego przy zawieraniu umów dotyczących produktów finansowych (lokaty, kredyty itp.) ważne jest sprecyzowanie zasad. Myślę właśnie o jasnym określeniu sposobu zaokrąglania: czy do pełnego procenta, czy może do jego setnej części, czy też inaczej.

Zachęcam do samodzielnych eksperymentów, być może z jeszcze większymi kwotami, np. rzędu budżetu państwa bądź jego części na oświatę, obronę itp. Zdobyta dodatkowo wiedza (już nie matematyczna) da Czytelnikom wyobrażenie efektu skali.

Kolejny odcinek cyklu poświęcę zaś rozliczeniu prostego kredytu w oparciu o procent składany.

3 komentarze

  1. Zaokrąglanie, ale nie stóp procentowych tylko tzw. podatku Belki było przez lata mechanizmem pozwalającym bankom uniknąć tego podatku, albo przynajmniej obniżyć jego wartość. Kiedyś należność dla fiskusa zaokrąglano w dół do pełnych złotówek. Przy kapitalizacji dziennej i niezbyt dużej kwocie depozytu oznaczało to, że należny podatek za ten jeden dzień był mniejszy od 1 zł, a więc zaokrąglany w dół do 0 zł. Teraz chyba zaokrągla się w górę do 1 grosza. Na moim koncie często widzę: odsetki 0,01 zł, podatek od odsetek: 0,01 zł.

    1. Niestety, tak jest w bankach. Rachunki oszczędnościowo-rozliczeniowe nie pomnażają nam pieniędzy. Do utrzymania takiego rachunku trzeba dopłacać. To tak, jakby trzymać pieniądze w skarpecie. Kiedyś, 20 lat temu, było inaczej. Oczywiście pomnożeniu pieniędzy służą inne produkty, np. lokaty terminowe.

Dodaj komentarz