Subtelności liczenia pieniędzy, część IV

W moim cyklu o liczeniu pieniędzy czas na analizę najprostszych, a zarazem najczęściej stosowanych planów spłaty kredytów. Aby móc jej dokonać, musimy wiedzieć co to znaczy, że kredyt został spłacony, czyli znać warunek spłaty kredytu. Do dzieła…


20 dolarów
© Darren Hester for openphoto.net

Niech $L$ (ang. loan) oznacza kwotę zaciągniętego kredytu. Będzie on (dla prostoty wywodu) spłacany w ratach rocznych o z góry ustalonych wielkościach $A_1,A_2,\dots,A_n$. Litera $A$ bierze się od angielskiego słowa annuity oznaczającego zobowiązanie kredytowe czy pożyczkowe (słowa kredytpożyczka będę w całym cyklu traktował synonimicznie, nie wchodząc w szczegóły natury prawnej). Tak więc kredyt spłacamy przez $n$ lat. Pozostałe do spłaty po każdym roku kwoty kredytu będziemy oznaczać $B_1,B_2,\dots,B_n$ (od słowa balance). Umawiamy się przy tym, że $B_0=L$ (proszę spróbować zinterpretować to oznaczenie). Zakładamy, że w każdym roku obowiązuje identyczna stopa procentowa $r$. Czasem stopę procentową oznacza się też przez $i$ od angielskiego terminu rate of interest. Samo słowo interest to odsetki.

Rozważania tego odcinka proszę odnieść do poprzedniej części cyklu, gdzie ułożyłem plan spłaty kredytu bez stosowania żadnych oznaczeń. Mieliśmy tam $n=3$, $L=10\,000$, $r=0{,}1$ oraz $A_1=5\,000$, $A_2=4\,000$ i wreszcie $A_3=2\,860$. Mamy też $B_1=6\,000$, $B_2=2\,600$ oraz $B_3=\dots$? Właśnie, ile wynosi ostatnia pozostała do spłaty kwota kredytu. Jeśli jest on spłacony, to kwota pozostałego do spłaty kredytu musi być zerowa. Dlatego w przykładzie z poprzedniego odcinka jest $B_3=0$, a ogólnie, jeśli kredyt spłacamy w $n$ ratach, to warunkiem spłaty jest $B_n=0$. Dlatego w rozliczeniach kredytów ważna jest znajomość kwot $B_1,B_2,\dots,B_n$. Zobaczmy, że określenie tego ciągu nie jest trudne.

Przypuśćmy, że znamy kwotę $B_{k-1}$. Liczba naturalna $k$ oznacza tu numer kolejnej raty: $k=1,2,\dots,n$. Jeśli $k=1$, to zwyczajnie znamy kwotę $B_0=L$, czyli wielkośc naszego kredytu. Przez rok narastają odsetki w wysokości $B_{k-1}r$. Rata łączna $A_k$ musi je przewyższyć (aby zobowiązanie malało). Tak więc kapitał do spłaty pomniejsza się o różnicę między ratą łączną a odsetkami, czyli o $A_k-B_{k-1}r$. Po $k$ latach do spłaty pozostaje nam więc\[B_k=B_{k-1}-(A_k-B_{k-1}r)=B_{k-1}(1+r)-A_k=B_{k-1}q-A_k\,,\]gdzie $q=1+r$. Ten związek pozwala nam już precyzyjnie określić cały ciąg $B_1,B_2,\dots,B_n$: wystarczy tylko zastosować powyższy wzór kolejno dla $k=1,2,\dots,n$. Otrzymujemy stąd\[\begin{aligned}B_1&=B_0q-A_1=Lq-A_1\,,\\[1ex]B_2&=B_1q-A_2=(Lq-A_1)q-A_2=Lq^2-A_1q-A_2\,,\\[1ex]B_3&=B_2q-A_3=(Lq^2-A_1q-A_2)q-A_3=\\[1ex]&=Lq^3-A_1q^2-A_2q-A_3\quad\text{itd.}\end{aligned}\]Postępując według tego wzorca dochodzimy w końcu do równości\[B_n=Lq^n-A_1q^{n-1}-A_2q^{n-1}-\dots-A_{n-1}q-A_n\,.\]Ale kredyt jest spłacony po $n$ latach, jeśli $B_n=0$. Prowadzi to do związku\[Lq^n=A_1q^{n-1}+A_2q^{n-2}+\dots+A_{n-1}q+A_n\,.\tag{1}\label{eq1}\]Ciekawa jest interpretacja obu stron tego równania. Zgodnie z prawem procentu składanego, po lewej stronie mamy $Lq^n=L(1+r)^n$. Jest to wartość kwoty $L$ po $n$ latach, czyli kwota, do której wzrósłby nasz kredyt, gdyby nie był spłacany. Czym jest prawa strona? Rata $A_1$ jest płacona po pierwszym roku i do całkowitej spłaty kredytu brakuje nam $n-1$ lat. Składnik $A_1q^{n-1}$ oznacza więc wartość raty $A_1$ na moment całkowitej spłaty kredytu. Podobnie składnik $A_2q^{n-2}$ jest wartością raty $A_2$ na ten moment. Cała suma po prawej stronie wzoru \eqref{eq1} jest więc wartością wszystkich spłaconych rat przypadającą na moment całkowitej spłaty kredytu.

Podsumowując dzisiejszy artykuł, warunek spłaty kredytu wyraża wzór \eqref{eq1} mówiący, że kredyt jest spłacony, gdy przyszłe wartości kwoty kredytu $L$ oraz wszystkich spłaconych rat przypadające na moment zakończenia spłaty, są równe.

Wzór \eqref{eq1} jest podstawą do układania planów spłat kredytów o bardziej szczegółowych parametrach. O takich planach napiszę w kolejnych odcinkach.

Na zakończenie powiem, że analizowany tu roczny okres spłat jest czysto umowny. Na ogół raty spłaca się co miesiąc. Wystarczy wtedy słowo ,,rok” zastąpić słowem ,,miesiąc”, a roczną stopę procentową stopą miesięczną będącą dwunastą częścią tej pierwszej. Jeśli, dajmy na to, stopa roczna wynosi $18\%$, to stopa miesięczna jest dwunastą częścią, czyli $r=1{,}5\%=0{,}015$.

Dodaj komentarz