Subtelności liczenia pieniędzy, część V

W poprzednim odcinku cyklu o liczeniu pieniędzy analizowałem warunek spłaty kredytu. Dziś, mając go na uwadze, opowiem o często przyjmowanym wariancie planu spłaty. Myślę o spłacie kredytu w ratach równych. Zapraszam do lektury.


20 dolarów
© Darren Hester for openphoto.net

Przypomnę, że warunek spłaty kredytu ma postać\[Lq^n=A_1q^{n-1}+A_2q^{n-2}+\dots+A_{n-1}q+A_n\,,\tag{1}\label{eq1}\]gdzie $L$ (loan) to kwota kredytu, $A_1,A_2,\dots,A_n$ to kolejne raty, a $q=1+r$, gdzie $r$ oznacza roczną (lub okresową, jeśli mowa o okresie spłat innym niż roczny) stopę procentową. Oczywiście $n$ oznacza tu liczbę lat (okresów) potrzebnych do spłaty kredytu.

Skoro mowa o równych ratach, należy założyć, że $A_1=A_2=\dots=A_n$. Oznaczmy tę wspólną wartość przez $A$. Wtedy wzór \eqref{eq1} przyjmuje postać\[Lq^n=Aq^{n-1}+Aq^{n-2}+\dots+Aq+A=A\bigl(q^{n-1}+q^{n-2}+\dots+q+1\bigr)\,.\tag{2}\label{eq2}\]Pokażę dość sprytny sposób wyliczenia sumy występującej w nawiasie. Na ogół podaje się postać tej sumy i stosując zasadę indukcji matematycznej dowodzi się poprawności wzoru. Metoda, którą proponuję, w ogóle nie wymaga znajomości tego wzoru. Oczywiście chodzi o wzór na sumę $n$ początkowych wyrazów ciągu geometrycznego.

Uff… rozgadałem się. A zatem do pracy! Niech\[x=q^{n-1}+q^{n-2}+\dots+q+1\,.\]Mnożymy obie strony przez $q$:\[qx=q^n+q^{n-1}+\dots+q^2+q.\]Chcemy po prawej stronie w jakiś sposób dostrzec $x$. Dlatego do obu stron powyższej równości dodajemy $1$:\[qx+1=q^n+\bigl(q^{n-1}+\dots+q^2+q+1\bigr)=q^n+x.\]Teraz już łatwo wyliczamy $x$:\begin{align*}qx-x&=q^n-1\,,\\x(q-1)&=q^n-1\,,\\x&=\frac{q^n-1}{q-1}\,.\end{align*}Uważny Czytelnik dostrzeże, że zupełnie pominąłem przypadek $q=1$ (dzielenie przez zero). Odpowiada on zerowej stopie procentowej, co w naszym przypadku jest zupełnie nierealistyczne. Tak więc zakładamy, że $r>0$, czyli $q>1$.

Wskutek powyższych rozważań ze wzoru \eqref{eq2} otrzymujemy\[Lq^n=A\frac{q^n-1}{q-1}\,.\]Dlatego równa rata naszego kredytu ma wartość\[A=Lq^n\frac{q-1}{q^n-1}\,.\tag{3}\label{eq3}\]Biorąc pod uwagę równość $q=1+r$, możemy też zapisać\[A=\frac{Lq^nr}{q^n-1}\]lub w jeszcze bardziej zawikłany sposób\[A=\frac{L(1+r)^nr}{(1+r)^n-1}\,.\]

Zakończę przykładem: w trzeciej części cyklu analizowałem kredyt w wysokości $10\,000$ zł, który należało spłacić w trzech rocznych ratach. Dwie raty miały z góry ustaloną wysokość, czwartą należało obliczyć. Roczna stopa procentowa wynosiła $r=10\%=0{,}1$. Wspomniane raty miały wartości $A_1=5\,000$ zł, $A_2=4\,000$ zł oraz $A_3=2\,860$ zł. Przypuśćmy teraz, że chcemy ten kredyt spłacić w równych ratach. Mamy tu $L=10\,000$, $q=1{,}1$ oraz $n=3$. Według wzoru \eqref{eq3} obliczamy\[A=Lq^3\frac{q-1}{q^3-1}=10\,000\cdot 1{,}1^3\cdot\frac{0{,}1}{1{,}1^3-1}=4021{,}15\,.\]Dlatego każda z trzech równych raz tego kredytu ma wartość $4021{,}15$ zł.

W następnym odcinku opowiem o ratach malejących. Potem (być może w kolejnym odcinku) zanalizuję, który z obu przedstawionych planów spłaty jest korzystniejszy dla kredytobiorcy.

Dodaj komentarz