Subtelności liczenia pieniędzy, część VI

Dziś w cyklu o liczeniu pieniędzy omówię kolejny wariant planu spłaty kredytu. Będziemy go spłacać w tzw. ratach malejących. Cóż to za raty? Zapraszam do lektury.


20 dolarów
© Darren Hester for openphoto.net

W trzeciej części cyklu doszliśmy do wniosku, że rata kredytu (tzw. rata łączna, czyli ta, którą rzeczywiście płacimy), składa się z części kapitałowej i odsetkowej, a tylko część kapitałowa zmniejsza nasze zadłużenie. Same odsetki za dany okres nalicza się od pozostałej do spłaty części kredytu. Jak poprzednio, niech $A_1,A_2,\dots,A_n$ oznaczają raty łączne. Zapiszmy\[A_k=P_k+I_k\quad\text{dla }k=1,2,\dots,n\,,\]gdzie $P_k$ (od angielskiego principal) oznacza ratę kapitałową, a $I_k$ to odsetki (interest).

Mówimy, że kredyt spłacany jest w ratach malejących, jeśli wszystkie raty kapitałowe są równe:\[P_1=P_2=\dots=P_n.\]Oznaczmy tę wspólną wartość przez $P$. Dlatego po kolejnych okresach pozostałe do spłaty części kredytu (balance) wyniosą $B_1=L-P$, $B_2=B_1-P=L-2P$ itd. Widzimy, że ciąg $B_1,B_2,\dots,B_k$ jest arytmetyczny:\[B_k=L-kP,\quad\text{dla }k=1,2,\dots,n\,.\]Zauważmy, że $B_n=L-nP$. Ale skoro kredyt spłacamy w $n$ ratach, to musi być $B_n=0$, czyli $L=nP$. Dlatego rata kapitałowa ma bardzo prostą postać\[P=\frac{L}{n}\,.\]Oznacza to, że\[B_k=L-k\frac{L}{n}=\frac{L}{n}\cdot(n-k)\quad\text{dla }k=1,2,\dots,n\]i jest to ciąg malejący względem numeru raty, którym jest tu $k$. Wynika stąd, że odsetki też maleją wraz z kolejnymi okresami, gdyż naliczane są od kolejnych zadłużeń:\[I_k=B_{k-1}r\,,\] gdzie $r>0$ jest stopą procentową. Skoro rata łączna jest sumą $A_k=P+I_k$, skladnik $P$ jest stały, a składnik $I_k$ maleje, to ciąg rat $A_1,A_2,\dots,A_n$ też jest malejący. Dlatego w tego rodzaju planie spłaty wraz z przyrostem czasu spłacania kredytu zmniejsza się udział odsetek w racie łącznej na korzyść części kapitałowej.

Wyznaczę teraz to, co najbardziej interesuje kredytobiorcę, czyli jakie raty łączne będzie płacił. To już nietrudne zadanie:\[A_k=P+I_k=P+B_{k-1}r=\frac{L}{n}+\frac{L}{n}\bigl(n-(k-1)\bigr)r=\frac{L}{n}\bigl(1+(n+1)r-kr\bigr)\]oczywiście dla $k=1,2,\dots,n$. W szczególności, jeśli $k=n$ (ostatnia rata), to\[A_n=\frac{L}{n}(1+r)=P+Pr\,.\]Jest to suma raty kapitałowej (ostatniej pozostałej do spłaty części zadłużenia oraz należnych od niej odsetek). To zdanie napisałem dlatego, żeby sprawdzić czy wyprowadzony wzór zgadza się z intuicją i ze zdrowym rozsądkiem.

Jako ćwiczenie pozostawiam Czytelnikom ułożenie planu spłaty omawianego tu przykładowo kredytu w ratach malejących. Proszę odpowiedzieć sobie na pytanie, który wariant planu spłaty (raty równe czy malejące) jest korzystniejszy dla dłużnika. Odpowiedź ogólną przyniesie następny odcinek.

Dodaj komentarz