Subtelności liczenia pieniędzy, część VII

W moim cyklu o liczeniu pieniędzy przedstawiłem plany spłaty kredytów w ratach równych i w ratach malejących. Dziś – w ostatnim odcinku cyklu – zanalizuję, który plan jest korzystniejszy dla kredytobiorcy (czyt. tańszy).

Od zarania dziejów ludzie wymieniali się towarami. Za chleb płacili płótnem (dokładniej płatami płótna, stąd polskie słowo płacić), za zboże – dajmy na to – krowami itp. To handel wymienny. Łatwiej jednak było wprowadzić pewien abstrakcyjny towar zwany pieniądzem. Tak! Pieniądz to towar, a handel w dalszym ciągu jest wymienny: nabyte dobra wymieniamy na pieniądze. Jaki więc problem, aby za wypożyczenie pieniędzy płacić pieniądzem? Towar za towar – stąd biorą się kredyty. Odsetki są opłatą za wypożyczenie pieniędzy, których obecnie ich nie mamy. Chcąc posiadać jakieś dobro szybciej niż zdobędziemy środki potrzebne na jego kupno, nabywamy te środki w banku.

Jak pojmować cenę kredytu? Jednym z ujęć jest nominalne. Za koszt kredytu uznajemy sumę spłaconych odsetek. Dłużnik widzi, ile pieniędzy wycieka mu z portfela oprócz spłacanego kapitału. Dlatego wyznaczymy poniżej sumy odsetek spłaconych w obu planach spłaty: w ratach równych i malejących.

Sumę wszystkich odsetek można interpretować jako sumę wszystkich spłaconych rat pomniejszoną o pożyczony kapitał. W modelu rat równych (o wysokości $A$) łączne odsetki mają więc wartość\[I_1+I_2+\dots+I_n=nA-L\,,\]gdzie $n$ jest liczbą rat, a $L$ kwotą kredytu. Biorąc pod uwagę wzór na równą ratę (zob. wzór (3) z piątej części tego cyklu, łatwo dochodzimy do szukanej sumy odsetek:\[
I_1+\dots+I_n=nA-L=nL\frac{q^n(q-1)}{q^n-1}-L=L\biggl[\frac{nq^n(q-1)}{q^n-1}-1\biggr]\,.\]Oczywiście $q=1+r$, gdzie $r$ jest roczną (lub ogólniej okresową) stopą procentową.

W modelu rat malejących odsetki za kolejne okresy mają wartość\[I_k=\frac{L}{n}(n-k+1)r\quad\text{dla }k=1,\dots,n\](zob. szóstą część tego cyklu). Biorąc pod uwagę wzór na sumę $n$ początkowych liczb naturalnych\[1+2+\dots+n=\sum_{k=1}^n k=\frac{n(n+1)}{2}\]łatwo obliczamy sumę odsetek\begin{align*}I_1+\dots+I_n&=\sum_{k=1}^n I_k=\sum_{k=1}^n\frac{L}{n}(n-k+1)=\frac{L}{n}r\sum_{k=1}^n\bigl((n+1)-k\bigr)=\\&=\frac{L}{n}r\biggl(\sum_{k=1}^n(n+1)-\sum_{k=1}^n k\biggr)=\\&=\frac{L}{n}r\biggl(n(n+1)-\frac{n(n+1)}{2}\biggr)=Lr\frac{n+1}{2}=L(q-1)\frac{n+1}{2}\,.\end{align*}

Reasumując, nominalnym kosztem kredytu spłacanego w ratach równych jest\[L\biggl[\frac{nq^n(q-1)}{q^n-1}-1\biggr]\,,\]a w ratach malejących\[L(q-1)\frac{n+1}{2}\,.\]

Czas na małą symulację. Kredyty celowe (przeznaczone na realizację konkretnych celów) nie są zbyt mocno oprocentowane. Dlatego rozważymy kredyt w wysokości 10 000 000 zł spłacany w 20 ratach rocznych. Według powyższych wzorów koszt w modelu rat równych to 6 048 517,44 zł, a w modelu rat malejących to 5 250 000 zł. Różnica obu kosztów to 798 517,44 zł. Za taką kwotę można wybudować całkiem pokaźny dom (wracam tu myślą do drugiej części cyklu, gdzie mówiłem o zaokrąglaniu stóp procentowych i domu niewielkim).

Zwracajmy więc baczną uwagę na proponowane przez banki sposoby spłaty kredytów.

2 komentarze

Dodaj komentarz