Sztuka abstrakcji

Pan Jourdain, jeden z bohaterów molierowskiej komedii Mieszczanin szlachcicem, przez ponad czterdzieści lat mówił prozą nic o tym fakcie nie wiedząc. Dodając siedem do dziewięciu myślimy tak: do dziesięciu będzie jeden, zostało sześć, więc razem będzie szesnaście. Cóż w tym dziwnego? Nic poza nieświadomym stosowaniem matematyki, a mianowicie zasady łączności dodawania. Czego jeszcze nie jesteśmy świadomi? Sztuki abstrakcji.


Sztuka abstrakcji
© Stéfan

Zwykle nie rozróżniamy przedmiotów o identycznych własnościach.

Idziemy do sklepu chcąc kupić dziecku zabawkę. Podchodzimy do półki i widzimy 10 identycznych zabawek ustawionych w rzędzie? Którą wybieramy? To zupełnie obojętne. Takie same samochodziki, takie same lalki. Ich użyteczność jest dla dziecka identyczna. Podobnie kupujemy chleb, napoje i większość innych towarów.

Liczymy, ile talerzy leży w kredensie. Jak to robimy? Zwyczajnie: jeden, dwa, trzy itd. Co tu utożsamiamy? Zbiór dziewięciu talerzy ze zbiorem dziewięcioelementowym $\{1,2,\dots,9\}$, a także ze zbiorem $\{a,b,c,d,e,f,g,h,i\}$ itp. Co jest ich wspólną cechą? To, że mają po dziewięć elementów.

Często dokonujemy też różnych klasyfikacji.

Dzielimy ludzi na mądrych i głupich, na mężczyzn i kobiety, na krawców, lekarzy, nauczycieli itp. Urządzeniom elektrycznym przypisujemy klasy zużycia energii. Liczby całkowite dzielimy na parzyste i nieparzyste, na pierwsze i złożone. Takich podziałów jest bardzo wiele.

Za wszystkim stoi dość głęboka matematyka. Jest nią tzw. zasada abstrakcji. W zbiorze interesujących nas przedmiotów wyróżniamy cechę, która je identyfikuje albo odróżnia. Mądrze mówimy, że określamy w ten sposób relację równoważności, a elementy pozostające w tej relacji utożsamiamy. I tak cechą odróżniającą może być płeć człowieka. W ten sposób dzielimy ludzi na mężczyzn i kobiety identyfikując każde dwie osoby tej samej płci. Podobnie odróżniają ludzi wykonywane zawody. Będziemy identyfikować ludzi wykonujących ten sam zawód. Liczby całkowite może odróżniać reszta z dzielenia przez dwa. Identyfikujemy liczby dające tę samą resztę. Otrzymujemy podziały określonych zbiorów na pewną liczbę klas. Płeć człowieka wprowadza dwie klasy, zawód – nie wiem ile, ale na pewno tyle, ile jest różnych zawodów. Reszta z dzielenia liczby całkowitej przez dwa wprowadza liczby parzyste i liczby nieparzyste. Tego rodzaju klasy nazywamy klasami abstrakcji względem odpowiednio zdefiniowanej relacji równoważności.

Po co taki matematyczny opis? Pozbywając się mało istotnych konkretów możemy badać własności ogólne. Mam tu na myśli własności wszystkich podziałów. Pierwsza to pełność: każdy element danego zbioru jest klasyfikowany, czyli należy do pewnej klasy. Druga to rozłączność: każdy element należy do dokładnie jednej klasy. Czasem postuluje się też, żeby nie było klas pustych. To właśnie zapewniają relacje równoważności wraz z klasami abstrakcji, czyli zbiorami elementów pozostających z sobą w relacji.

Co to jest liczba trzy? Pytanie z natury filozofii. Otóż jest to abstrakcja pojęcia ,,mieć trzy elementy”. Tzn. wspólna cecha wszystkich zbiorów, które mają dokładnie trzy elementy. Aby nie odwoływać się do intuicji, wprowadzamy następującą relację: dwa zbiory są z sobą w relacji, jeśli każdy z nich jest równoliczny ze zbiorem $\{1,2,3\}$.

Jakże mało jesteśmy świadomi otaczającej nas zewsząd matematyki.

4 komentarze

  1. Świetny tekst. Myślę, że większość ludzi nie jest świadoma, że matematyka otacza ich ze wszystkich stron. A tak właśnie jest.
    Uwielbiam obserwować, jak dzieci uczą się właśnie podstaw matematyki. Jak próbują dodawać, mnożyć, porównywać. Wiele można się w czasie takich obserwacji nauczyć.

    1. Warto wiedzieć, dlaczego uczymy się matematyki. Któż jak nie my, zapaleńcy, ma pokazać jej piękno i nadzwyczajną użyteczność?

  2. W życiu jednak nie jest tak prosto jak w matematyce: zatkał się zlew, bierzemy klasę abstrakcji “hydraulik” relacji “zawód”, wybieramy dowolnego reprezentanta i prosimy o pomoc.
    Nic z tego: ci co oglądają program “Usterka” zadzwonią jednak po pana Mirka, który nie tylko, że ostatnio solidnie naprawił kran, ale i posprzątał po sobie.

    1. Dlatego dyskretnie to przemilczałem pisząc tylko o identyfikacji ludzi wykonujących ten sam zawód. Jest taki lekarz, do którego nigdy nie pójdę, a lekarzy naprawdę pełno. Wśród nich są lepsi i gorsi. Trzeba po prostu subtelniejszej relacji równoważności.

      Dziękuję za zabawny komentarz – ubawiłem się przy czytaniu i zatwierdzaniu. 🙂

Dodaj komentarz