Sztuka zrozumienia

Matematyka jest nauką łatwą i przyjemną. Kto zgodzi się z takim przewrotnym stwierdzeniem? Owszem, jest łatwa, jeśli ją zrozumieć. A droga do zrozumienia bywa często długa. Co można więc powiedzieć o sztuce zrozumienia w matematyce?

Zrozumienie formalne a zrozumienie dogłębne

Osobiście rozróżniam dwa rodzaje zrozumienia: formalne i dogłębne.

Zrozumienie formalne to poznanie przyjętych oznaczeń, definicji pojęć oraz wypowiedzi podstawowych twierdzeń bez umiejętności ich analizy ani zastosowania w rozumowaniach czy praktyce. To tak, jakby nauczyć się wiersza na pamięć. Można więc operować symbolami oraz rozwiązywać proste zadania. Jednak gdyby zapytać osobę rozumiejącą formalnie o to, na czym polega dany wzór, co by się stało gdyby zwiększyć jedną z występujących w nim wielkości itp., odpowiedzi nie sposób uzyskać. Studenci znają ze szkoły pojęcie funkcji liniowej. Pytam ich czym jest podatek liniowy. Słusznie mówią, że chodzi o jeden próg podatkowy. Ale jak obliczyć taki podatek? Tego już nie wiedzą. A zdrowy rozsądek nakazuje skojarzyć podatek liniowy z funkcją liniową. Uzyskanie odpowiedzi (przy stawce podatku $18\%$), że podatek obliczamy według wzoru\[\text{podatek}=0{,}18\cdot\text{dochód}\]jest niemożliwością. Jeszcze gorzej będzie z interpretacją innego wzoru (też dotyczącego podatku liniowego):\[\text{podatek}=0{,}18\cdot\text{dochód}-900.\]Czym jest to $900$ (dane są tutaj umowne)?

Zrozumienie dogłębne to zrozumienie formalne powiększone o umiejętność analizy, wyciągania wniosków, dostrzegania analogii. Można nie tylko rozwiązywać proste i trudne zadania, ale proponować nowe zastosowania teorii. Rozumieć dogłębnie to czuć duszą i ciałem, całą istotą swojego umysłu. Osoba pragnąca zrozumieć dogłębnie zadaje pytania nie o to, co napisano na tablicy, lecz rzeczowe. Na jednym z wykładów zdefiniowałem macierz odwrotną do macierzy kwadratowej $A$ jako taką macierz $A^{-1}$ , że $A\cdot A^{-1}=\I$ (gdzie $\I$ oznacza macierz jednostkową). W tym momencie student przerywa mój wywód i mówi: przecież niedawno powiedział Pan, że mnożenie macierzy nie jest przemienne. Czy nie trzeba więc założyć, że także $A^{-1}A=\I$? Odpowiedziałem, że można wykazać, że jeśli istnieje taka macierz $B$, że $AB=\I$, to także $BA=\I$.

Wrócę jeszcze do sprawy podatku. Mamy tu\[\text{podatek}=0{,}18\cdot\text{dochód}-900=0{,}18\cdot(\text{dochód}-5000),\]skąd jasno widać, że kwota $5000$ zł nie jest objęta opodatkowaniem, a podatek naliczamy od nadwyżki ponad kwotę wolną od opodatkowania. Osoba ze zrozumieniem dogłębnym bez najmniejszego problemu dokona tego rodzaju interpretacji, a ponadto zaproponuje sposób obliczania podatku przy różnych progach podatkowych.

♦♦♦

Czy zrozumienie formalne jest czymś gorszym od dogłębnego? Nie zawsze. Jestem specjalistą w zakresie analizy wypukłej i wiele pojęć z jej zakresu rozumiem dogłębnie. Natomiast w rachunku tensorowym (którego się obecnie uczę) nie mam ani zrozumienia formalnego. Każdy jest specjalistą w swojej dziedzinie (dogłębnie), ale też musi mieć wiedzę (formalną) w zagadnieniach pokrewnych. Zrozumienie formalne jest więc niezbędną tabliczką mnożenia.

Katolicy przystępujący do Sakramentu Pojednania rozróżniają dwa rodzaje żalu za grzechy: mniej doskonały (formalny, wystarczający do uzyskania rozgrzeszenia) oraz doskonały (dogłębny). Od wielu lat mam tę analogię przed oczami. Ale to już kwestia teologii, nie matematyki.

3 komentarze

  1. Często, by zrozumieć problem dogłębnie potrzebna jest pomoc Mistrza a tę można mieć tylko w kontaktach osobistych. Stąd tak ważnym jest ów kontakt i jego życzliwość.

    1. Aby być mistrzem, trzeba rozumieć dogłębnie. Wcześniej niż uczeń. Do dziś uprawia się naukę w kontakcie osobistym. Czemu ciągle jeździmy na konferencje, skoro wszystko może załatwić Internet? Bo nic nie zastąpi kontaktu z żywym słowem.

      1. “Bo nic nie zastąpi kontaktu z żywym słowem.”
        I coś tu jest takiego metafizycznego. Te same słowa, w tym samym szyku, dobrze czytelne, a jednak nie takie jak słyszane. I tak pewnie pozostanie.

Dodaj komentarz