Tajniki interpolacji, część 1

Ludzki mózg jest tak skonstruowany, że przebieg wszystkich zjawisk ilościowych opisuje liniowo niezależnie od rzeczywistego ich przebiegu. Jest stworzony do interpolacji liniowej. Czy jest ona dobrym przybliżeniem rzeczywistości? Zapraszam do lektury.

Rozpocznijmy od prostego przykładu. Wiemy, że $\sqrt{1}=1$, zaś $\sqrt{1{,}96}=1{,}4$. Liczba $1{,}48$ leży pośrodku pomiędzy $1$ a $1{,}96$. Dlatego jesteśmy skłonni oszacować\[\sqrt{1{,}48}\approx\frac{1+1{,}4}{2}=1{,}2.\] Dokonaliśmy własnie interpolacji liniowej w przybliżonym obliczeniu $\sqrt{1{,}48}$. Dokładniejsza wartość tego pierwiastka to $\sqrt{1{,}48}\approx 1{,}21655250606$. Popełniliśmy więc w naszym oszacowaniu bardzo niewielki błąd, do zaniedbania w prostych zastosowaniach.

Wiemy, że przez każde dwa różne punkty płaszczyzny przechodzi dokładnie jedna linia prosta. Przypuśćmy, że dana jest funkcja postaci $y=f(x)$ określona przynajmniej w przedziale $[a,b]$. Mówimy, że funkcja liniowa $g(x)=\alpha x+\beta$ interpoluje funkcję $f$ w węzłach $a, b$, jeśli , że $g(a)=f(a)$ oraz $g(b)=f(b)$ czyli wartości funkcji $f$ w węzłach $a, b$ są takie same jak wartości tej funkcji liniowej. Funkcję $g$ (a taka jest dokładnie jedna) opisuje każde z dwóch równań:\[g(x)=f(a)+\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)\]lub\[g(x)=f(b)+\frac{f(a)-f(b)}{a-b}(x-b).\]Istotnie, w obu przypadkach spełnione są warunki interpolacyjne $g(a)=f(a)$ oraz $g(b)=f(b)$, więc oba wzory określają tę samą funkcję $g$ (bo przecież przez dwa różne punkty płaszczyzny przechodzi dokładnie jedna prosta, a posługujemy się tu geometrią euklidesową). Można też zwyczajnie przekształcić pierwszy wzór tak, aby przybrał postać wzoru drugiego lub – chyba najprościej – odjąć od siebie prawe strony obu wzorów.

Powróćmy do interpolacji liniowej funkcji pierwiastkowej w węzłach $a=1$ oraz $b=1{,}96$. Na poniższym rysunku funkcja ta została zobrazowana na niebiesko, zaś czerwona linia przerywana oznacza liniową funkcję interpolującą. Napiszmy teraz równanie tej linii. Zgodnie z pierwszym z powyższych wzorów mamy\[g(x)=\sqrt{1}+\frac{\sqrt{1{,}96}-\sqrt{1}}{1{,}96-1}(x-1)=\frac{5x+7}{12}.\]Dla $x=1{,}48$ mamy \[g(1{,}48)=\frac{5\cdot 1{,}48+7}{12}=\frac{14{,}4}{12}=1{,}2.\]Zasadne jest więc nazwanie interpolacją liniową sposobu przybliżenia zastosowanego na wstępie.

Tajniki interpolacji liniowej funkcji pierwiastkowej

Widzimy tu, że pomiędzy węzłami przybliżenie interpolacyjne jest całkiem dobre. Ale nie można popadać w samozachwyt. Poza przedziałem wyznaczonym węzłami mogą dziać się różne rzeczy. Spójrzmy na kolejny rysunek.

Tajniki interpolacji liniowej funkcji kwadratowej

Na niebiesko zaznaczono parabolę $y=x^2$, a na czerwono poziomą linię $y=1$ interpolującą tę parabolę w węzłach $-1$ oraz $1$. Pomiędzy węzłami maksymalny błąd przybliżenia ma wartość $1$. Ale im bardziej oddalamy się od węzłów, tym większa jest różnica wartości funkcji interpolowanej i liniowej funkcji interpolującej. Różnica ta zmierza w tym przypadku do nieskończoności.

Cechą dobrej prezentacji jest skupienie się na wiodącym temacie i unikanie wątków pobocznych. Robi się tak, aby Czytelnik nie zagubił w gąszczu szczegółów głównej idei. W kontekście niniejszego artykułu można oczywiście spytać o matematyczne usankcjonowanie błędu interpolacji liniowej. Dlaczego w powyższym przypadku ma on wartość $1$? Tu łatwo to wykazać, ale chodzi o pewne podejście ogólne. O tym opowie kolejny odcinek nowego cyklu.

4 komentarze

  1. W kontekście interpolacji warto również wspomnieć o tablicach trygonometrycznych, wyliczaniu wartości funkcji między węzłami, interpolacji Newtona, ale — co najważniejsze — mechanicznym komputerze Babbage’a, który miał służyć wyliczaniu wartości logarytmów czy funkcji trygonometrycznych.

    Życie rachmistrzów (bo raczej nie matematyków) było kiedyś ciężkie.

    1. Wojtku, niechcący zdradziłeś plan mojego cyklu. 🙂 Zwłaszcza w kwestii interpolacji Newtona, którą zamierzam omówić dokładnie ze względu na wielką prostotę obliczeń. Ale zrobię to bardzo powoli. Na wykładzie dla doktorantów pobieżne omówienie tego tematu zajęło mi cztery godziny. W sprawie Babbage’a nie mogę zabrać głosu, bo tu nie czuję się ekspertem.

      A co do ciężkiego życia rachmistrzów, to Stanisław Ulam w ,,Przygodach matematyka” opowiada o współpracy z Corneliusem Everettem w badaniach nad bombą wodorową. Pisze tam, że obliczenia wykonywał oddział rachmistrzyń używających zwykłych mechanicznych maszyn do liczenia. Takie to były żywe komputery przed Eniac-em.

      1. A to przepraszam 🙂

        Jeżeli chodzi o Babbage’a — to mógłbym coś napisać, bo warto i bardzo się z interpolacją łączy.

        A jeżeli o bombę chodzi — to już nie pamiętam gdzie: czy u Ulama czy u Feynmana — wyczytałem, że używali kart perforowanych i maszyn (sumatory, multiplikatory, takie jak IBM 601 http://www.columbia.edu/cu/computinghistory/601.html) do prowadzenia „powtarzalnych” obliczeń na wielu danych. Cała ekipa siedziała na korytarzu, plotkowała i paliła papierosy, a co chwilę ktoś zaglądał czy skończył się cykl obliczeń; jeżeli tak to paczkę kart z wynikami przekładało się do kolejnej maszyny realizując skomplikowany, zaplanowany cykl obliczeń…

        1. Co do Babbage’a, będę wdzięczny za tego rodzaju wpis gościnny. Dziękuję, Wojtku, za wyrażenie chęci.

Dodaj komentarz