Zadanie o urodzinach

Na dzisiejszych zajęciach z analizy matematycznej studenci zrobili mi listę obecności. Ponieważ zajęcia są realizowane w ramach projektu unijnego, lista jest formalna i umieszcza się na niej daty urodzenia. Spoglądając na nie przypomniałem sobie ciekawe klasyczne zadanie z rachunku prawdopodobieństwa, którego rozwiązanie natychmiast zaprezentowałem studentom.

Możliwych dziennych dat urodzin (dzień-miesiąc, np. 23.01, 17.10 itp.) mamy 366, bo oczywiście można urodzić się w dniu 29 lutego. Dlatego jeśli w auli znajduje się 367 osób (lub oczywiście więcej), pewnym jest, że co najmniej dwie obchodzą urodziny w tym samym dniu. Jeśli w sali jest mniej niż 367 osób, istnienie takiej pary nie jest pewne, można tylko obliczyć prawdopodobieństwo zajścia odpowiedniego zdarzenia. Zbadajmy, jak się ono kształtuje.

Niech w sali będzie $n$ osób (oczywiście zakładamy, że $2\xle n\xle 366$). Każda z nich – powiedzmy – z równym prawdopodobieństwem może urodzić się w każdym z 366 dni. Wszystkich możliwości urodzenia się $n$ osób mamy $366\cdot 366\cdot\ldots\cdot 366=366^n$. Szukane prawdopodobieństwo łatwiej wyznaczyć posługując się zdarzeniem przeciwnym: wszystkie obecne w sali osoby urodziły się w różnych dniach. Ile jest takich możliwości? Pierwsza osoba ma do dyspozycji $366$ dni, druga o jeden dzień mniej, trzecia – już tylko $364$ dni itd. Tak więc prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego wynosi
\[
\frac{366\cdot \bigl(366-1\bigr)\cdot\bigl(366-2\bigr)\cdot\ldots\cdot\bigl(366-(n-1)\bigr)\;\;}{366^n}\;=\;\prod_{i=0}^{n-1}\frac{366-i}{366}\,.
\]
Zatem prawdopodobieństwo tego, że wśród $n$ osób (gdzie $n\in\{1,2,\dots,366\}$) znajdziemy co najmniej dwie osoby urodzone w tym samym dniu, ma wartość
\[
P(n)=1-\prod_{i=0}^{n-1}\frac{366-i}{366}\,.
\]
Na moich zajęciach było 16 osób (łącznie ze mną). Prawdopodobieństwo oczekiwanego zdarzenia wynosiło $P(16)=0{,}2829$, więc było stosunkowo niskie. Znaleźliśmy jednak dwóch panów urodzonych w tym samym dniu. Zobaczmy na inne wartości prawdopodobieństw $P(n)$ (zaokrąglenie do 4 miejsc po przecinku).
\[
\begin{eqnarray*}
n &\quad P(n)\\[1ex]
10 &\quad 0{,}1166\\
20 &\quad 0{,}4106\\
30 &\quad 0{,}7053\\
40 &\quad 0{,}8905\\
50 &\quad 0{,}9701\\
60 &\quad 0{,}9940\\
70 &\quad 0{,}9991\\
80 &\quad 0{,}9999
\end{eqnarray*}
\]
Dlatego nawet przy stosunkowo niewielkiej liczbie słuchaczy można na ogół z powodzeniem szukać osób o urodzinach w tym samym dniu. Znalezienie takiej pary zawsze wywołuje duży entuzjazm. Czy do matematyki? Niech Czytelnicy osądzą sami.

7 komentarzy

  1. Pewnie powiecie, że się czepiam, ale szanse na to, żeby urodzić się 29 lutego są jednak cztery razy mniejsze niż każdego innego dnia. Zatem moc zbioru zdarzeń elementarnych została policzona trochę niepoprawnie.

    Zadziwiające w tym zadaniu jest to, że w grupie 23 osób to prawdopodobieństwo jest większe niż $\frac{1}{2}$

    1. Dziękuję za spostrzegawczość. Ponieważ jednym z celów wpisu była prostota, postanowiłem uwzględnić dzień 29 lutego równoprawnie. Można by się nim nie przejmować i przyjąć, że mamy tylko 365 dni w roku, ale to też uproszczenie. Tak czy inaczej, w każdym z podejść otrzymane liczby są sobie bardzo bliskie.

  2. Co ciekawe wystarczy wziąć grupę 23 osób i już prawdopodobieństwo, że dwie urodzą się tego samego dnia jest większe od 50%. Może byłby Pan zainteresowany zrobieniem wywiadu w serwisie wykop.pl . Była by okazja do rozpowszechnienia bloga, no i kilka ciekawych faktów też by z pewnością wyszło. Wprawdzie było już AMA z matematykiem , ale to był ledwie student, a nie matematyk z prawidziwego zdarzenia 😉 link: http://www.wykop.pl/link/1828900/ama-jestem-matematykiem/

    1. Dziękuję za uznanie. Obecnie nie planuję otwarcia konta we wspomnianym serwisie. Zapraszam na fanpage na Facebooku: https://www.facebook.com/bycmatematykiem

      Co do meritum – właśnie ze względu na te 23 osoby, sztuczka ze znajdowaniem osób urodzonych w tym samym dniu zwykle się udaje. Nawet w grupie ćwiczeniowej. Gdy się nie uda, zawsze można się wymówić niepewnością zdarzenia. W końcu albo wypada orzeł, albo reszka. Chyba, że moneta kantem stanie.

  3. A jak obliczyć prawdopodobieństwo, że danego (jednego) dnia ma ktoś urodziny, jeśli w auli znajduje się 365 osób (tyle ile dni w roku)?

    1. Ustalamy konkretny dzień, jak proponujesz. Dla jednej osoby prawdopodobieństwo tego, że urodziła się właśnie w nim, wynosi $\frac{1}{365}$, bo człowiek może mieć urodziny w każdym dniu i żaden dzień nie jest uprzywilejowany. Wszystkich ludzi należy traktować niezależnie od siebie. Prawdopodobieństwo tego, że nikt nie urodził się w tym dniu ma więc wartość $\left(\frac{364}{365}\right)^{365}$. Dlatego zdarzenie przeciwne (co najmniej jedna osoba urodziła się w tym dniu, czyli to, o które pytasz) ma prawdopodobieństwo\[1-\left(\frac{364}{365}\right)^{365}\approx 0{,}6326251\,.\]Jest więc dość wysokie.

Dodaj komentarz