Zakamarki wypukłości, część 1

Nowy rok, nowe zadania, nowe wyzwania. Może to dobry czas na rozpoczęcie kolejnego cyklu artykułów. Tym razem opowiem o korzeniach moich zainteresowań naukowych. Są nimi funkcje wypukłe. Zapraszam więc do lektury.


Funkcja wypukła

W roku 1906 Johan Jensen, jeden z prekursorów teorii funkcji wypukłych, napisał:

Il semble que la notion de fonction convexe est a peu pr`es aussi fondamentale que celles-ci fonction positive, fonction croissante. Si je ne me trompe pas en ceci, la notion devra trouver sa place dans les expositions ´el´ementaires de la th´eorie des fonctions r´eelles.

W tłumaczeniu na język polski brzmi to:

Wydaje mi się, że pojęcie funkcji wypukłej jest tak podstawowe jak pojęcie funkcji dodatniej czy funkcji rosnącej. Jeśli się w tym osądzie nie mylę, pojęcie funkcji wypukłej powinno znaleźć swe miejsce w elementarnych wykładach z teorii funkcji rzeczywistych.

Miał rację. Dziś bez pojęcia funkcji wypukłej nie obejdzie się wiele działów matematyki, a także ekonomia, statystyka itp.

Rozpocznę cykl od przedstawienia kilku stosowanych w literaturze definicji funkcji wypukłej stopniowo zwiększając ogólność czyli osłabiając wymagane założenia. Ograniczę się do funkcji jednej zmiennej $\;f:\I\to\RR$, gdzie $\I\subset\RR$ jest przedziałem otwartym.

  1. Funkcję $\,f$ możemy nazwać wypukłą, jeśli jej druga pochodna jest nieujemna.

    To określenie wymaga stosunkowo najwięcej założeń. W analizie numerycznej ograniczenie się do funkcji dwukrotnie różniczkowalnych nie jest jakimś wygórowanym wymaganiem, jednak już teoria optymalizacji ze wstrętem odwróci od takiego założenia oko.

  2. Funkcję $\,f$ możemy nazwać wypukłą, jeśli jej pochodna jest funkcją niemalejącą.

    Te definicja wymaga już zdecydowanie mniej założeń, ale dalej nie będzie akceptowalna w teorii optymalizacji. Oczywiście jeśli $f^{\prime\prime}(x)\xge 0$ dla każdego $x\in\I$, to natychmiast wynika stąd, że $f’$ jest funkcją niemalejącą, więc funkcja wypukła w sensie punktu 1 jest też wypukła w sensie punktu 2. Jednak nie każda funkcja wypukła w sensie punktu 2 jest wypukła w sensie punktu 1. Dla przykładu funkcja $f:\RR\to\RR$ określona wzorem\[f(x)=\begin{cases}0&\text{dla }x<0\\x^2&\text{dla }x\xge 0\end{cases}\]ma pochodną w każdym punkcie $x\in\RR$ oraz pochodna ta jest funkcją niemalejącą, czyli $\,f$ jest wypukła w sensie 2. Jednak funkcja $\,f$ nie ma drugiej pochodnej w punkcie $0$. Dlatego nie można mówić o jej wypukłości w sensie 1. Sprawdzenie tych faktów pozostawiam zainteresowanym Czytelnikom.

    Widać więc, że definicja 2 jest ogólniejsza od definicji 1.

  3. Funkcję $\,f$ nazywamy wypukłą, jeśli dla wszystkich $x,y\in\I$ oraz dla każdego $t\in[0,1]$ zachodzi nierówność\[f\bigl(tx+(1-t)y\bigr)\xle tf(x)+(1-t)f(y)\,.\]Zauważmy, że nie występują tu żadne założenia regularnościowe, nie zakłada się nawet ciągłości. O samej dziedzinie wystarczy założyć, aby była jakimkolwiek przedziałem, niekoniecznie otwartym.

    Te definicja jest najbardziej ogólna. Można udowodnić, że funkcja wypukła w sensie 2 jest wypukła w sensie 3, ale implikacja odwrotna nie jest prawdziwa (tu kontrprzykładem jest funkcja $f(x)=|x|$). Omówieniu znaczenia występujących tu wielkości poświęcę następny odcinek mojej nowej serii.

Opuszczając kolejne założenia regularnościowe dopuszczamy do godności bycia wypukłą coraz to nowe funkcje. Natomiast po wzmocnieniu założeń ogólniejsze definicje nie prowadzą do niczego nowego. W klasie funkcji dwukrotnie różniczkowalnych wszystkie przytoczone definicje są bowiem równoważne. Z kolei w klasie funkcji różniczkowalnych równoważne są definicje 2 i 3.

Szanownym Czytelnikom bloga życzę wszelkiej pomyślności w Nowym Roku 2016.


Kalendarz an 2016

Kto chciałby sam skleić sobie taki kalendarz, niech kliknie w zjdęcie. Opublikował je (i wykonał siatkę z użyciem systemu LaTeX) Pan Wojciech Myszka prowadzący internetowy kurs LaTeX — Kurs On Line.

2 komentarze

    1. Często noworocznych postanowień się nie realizuje. Albo ciągle odkłada. Od jutra… to wiecznie aktualne. Oby udało nam się jednak je zrealizować.

      Na zdjęciu to może nie kostka, lecz dwunastościan foremny. Co ciekawe, wielki polski matematyk Karol Borsuk w czasie II wojny światowej wymyślił grę Hodowla zwierząt (znaną teraz jako Superfarmer). W tych ciężkich czasach utrzymywał się m. in. z jej sprzedaży. Kostka (widzisz, też nie za dobrze się wyrażam 🙂 ) była właśnie dwunastościenna.

Dodaj komentarz