Zwarta grupa

W ostatnim czasie dni wielokrotnie usłyszałem i przeczytałem zwrot poruszajmy się zwartą grupą. Raz podczas zwiedzania elektrowni wodnej w Niedzicy, później w czasie zwiedzania zamku w tej uroczej miejscowości, wreszcie podczas rajdu rowerowego Z WSB na dwóch kółkach. Kto nie jest matematykiem, w ogóle nie zwróci na tę frazę uwagi. Matematyk natomiast uśmiechnie się. Dlaczego?



© Miroslav Vajdić for openphoto.net

Grupa zwarta to termin matematyczny. Samo pojęcie grupy należy do algebry i powstało z refleksji nad własnościami działania dodawania liczb rzeczywistych. Przypomnę, o które chodzi:\[\begin{aligned}
a+(b+c)&=(a+b)+c& \text{(łączność),}\\
a+0&=0+a& \text{($0$ jest elementem neutralnym dodawania),}\\
a+(-a)&=(-a)+a=0 & \text{($-a$ jest elementem przeciwnym do $a$).}
\end{aligned}\]Okazuje się, że te trzy własności są najważniejsze i wszystkie dalsze własności dodawania z nich wynikają. Czy zapomniałem o jeszcze jednej? Chodzi o przemienność:\[a+b=b+a?\]Nie zapomniałem. Przemienność pełni w matematyce nieco inną rolę.

Można w matematyce wprowadzić inne działania w bardziej abstrakcyjny sposób. Dany jest zbiór elementów, na których działamy. Żądamy, aby wynik działania leżał w tym zbiorze. Jeśli to działanie jest łączne, ma element neutralny oraz element przeciwny, to ten zbiór wraz z tym działaniem nazywamy grupą. Jeśli dodatkowo działanie jest przemienne, to grupę nazywamy przemienną.

Kolej na zwartość. To pojęcie z zakresu topologii, czyli nauki matematycznej badającej własności przekształceń ciągłych (mówiąc z grubsza, deformacji obiektów polegających na zgniataniu, rozciąganiu, zginaniu, zawijaniu itp., ale bez rozrywania na części). Opiszę krótko, co to jest zbiór zwarty. Zrobię to na przykładzie płaszczyzny. Pomyślmy sobie o jakimś zbiorze płaskim $A$ oraz o kołach o dowolnie pomyślanych promieniach. Na nasz zbiór $A$ rzucamy takie koła. Robimy to ile razy chcemy ale tak, aby pokryć cały zbiór $A$. Jest on zwarty, jeśli niezależnie od sposobu rzucania kół zawsze można wybrać skończoną ich liczbę tak, aby one też pokryły zbiór $A$. Płaszczyzna ma milsze określenie zwartości. Zbiór $A$ jest zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy zawiera swój brzeg oraz jest ograniczony, tzn. można zbiór $A$ zawrzeć w jakimś kole, być może bardzo wielkim.

Zamiast płaszczyzny można rozważać bardziej abstrakcyjne przestrzenie i mieć w nich jakieś sposoby pokrywania czymś na kształt kół. Mówimy wtedy o wprowadzaniu w danym zbiorze topologii. Taka topologia może być zwarta w sensie opisanym powyżej.

Czym więc jest grupa zwarta? Zwyczajnie, mamy jakiś zbiór, w którym możemy wprowadzić zarówno jakieś działanie, jak i topologię zgodną z tym działaniem. Może nie będę już precyzował, co to znaczy. Jeśli ta topologia jest zwarta, to możemy mówić o grupie zwartej.

Czy Czytelnik dostrzega, czemu matematycy uśmiechają się na dźwięk zwrotu grupa zwarta? Widać, że to całkiem poważne pojęcie matematyczne. Natomiast przewodnicy turystyczni używają go w znaczeniu potocznym. My, matematycy, lubimy ten kontrast.

Matematyków proszę o komentarze dotyczące własności topologicznej, która tak naprawdę ma znaczenie w oprowadzaniu grup turystycznych. Nie jest nią zwartość. To kolejna ironia związana z nazewnictwem.

8 komentarzy

  1. Pamiętam jak zdziwiłem się, gdy pierwszy raz zobaczyłem niektóre angielskie odpowiedniki polskich terminów matematycznych. Przykładowo, przestrzeń ośrodkowa to po angielsku “separable space”, a słówko “separable” potocznie znaczy rozłączny lub dający się oddzielić, czyli coś co powinno być zaprzeczeniem spójności. Oczywiście jest głębszy sens tej nazwy, co jest dyskutowane na przykład tutaj:
    http://mathoverflow.net/questions/51494/why-the-name-separable-space

    1. Dziękuję za ciekawy komentarz. Czasem nie ma jeszcze polskich odpowiedników wprowadzonych pojęć. Myślę np. o amenable group. Od biedy można powiedzieć grupa dopuszczająca średnią niezmienniczą, co jest zbyt długie jak na nazwę pojęcia. A poza tym, co tu dopuszczać? To słowo weszło do żargonu matematycznego. Jest jeden dopust… Boży. No i znana pomyłka w przysiędze małżeńskiej: … i że cię nie dopuszczę. 🙂

      1. Widzę, że była już na ten temat krótka dyskusja na matematyka.pl, ale nie mogę się powstrzymać przed małym protestem. Odpowiednik (grupa średniowalna) istnieje i jest używany, choć nie mogę wykluczyć, że jedynie w Warszawie.

        Nawet zapominając na chwilę o relacji Warszawa vs. Reszta Świata, jestem ogólnym zwolennikiem wprowadzania polskich odpowiedników. Osobiście istnienie takowych odbieram zawsze jako świadectwo dbałości autora o język polski (i jego rozwój) oraz dojrzałości dziedziny (jeśli jakieś pojęcie zostało przetłumaczone, to widocznie okazało się owocne).

        1. Dziękuję za zwrócenie uwagi na tę nazwę. Przy wprowadzaniu polskich odpowiedników angielskich nazw pojęć należy moim zdaniem zachować rozsądek i iść na jakiś kompromis. Wszystkiego nie spolszczać. Osobiście neologizm średniowalna nie podoba mi się, ale to kwestia gustu. Czy spolszcza się słowo computer do np. rachmistrz? Nie, w ususie językowym jest tylko inna pisownia. Ale np. Czesi mają počítač, zaś Francuzi ordinateur.

  2. Może to i lepiej, że w narodzie wiedzy matematycznej mało? Wszak w naszej najbardziej ulubionej przestrzeni zwarty to domknięty i ograniczony. A któż lubi, gdy go nazwać ograniczonym???

Dodaj komentarz