Bardzo skomplikowany porządek

Obrazek ilustrujący ten artykuł znalazłem w otchłaniach sieci. Przyznam, że nie znałem tego cytatu. Owszem, na każdy bałagan można popatrzeć jak na porządek… rozumiany inaczej. Co na to matematyka? Zapraszam do lektury

To nie jest bałagan, tylko bardzo skomplikowany porządek — tłumaczył Puchatek Tygrysowi, który szukał czegoś w szafce.

Dziwny porządek

W zbiorach liczbowych najbardziej naturalny jest porządek rosnący. Liczby naturalne porządkujemy więc według reguły \(1<2<3<\dots.\) Można pomyśleć o innych sposobach uporządkowania. Np. \(2,1,4,3,6,5,\dots\) czy też \(2,4,6,8,\dots,1,3,5,7,\dots\) (czyli najpierw wszystkie liczby parzyste, a potem wszystkie liczby nieparzyste). Ale to swego rodzaju sztuka dla sztuki. Kto widział jakieś zastosowanie tego rodzaju porządków? Kto więc wpadł na pomysł, aby wszystkie liczby naturalne uszeregować jeszcze inaczej? Oto ten dziwny porządek:\begin{multline}3,5,7,9,\dots,3\cdot 2^2,5\cdot 2^2,7\cdot 2^2,9\cdot 2^2,\dots,\\\dots, 3\cdot 2^3,5\cdot 2^3,7\cdot 2^3,9\cdot 2^3,\dots,2^3,2^2,2^1,1.\end{multline}Najpierw zapisujemy więc rosnąco wszystkie liczby nieparzyste, potem liczby nieparzyste mnożone przez \(2\), potem odpowiednio przez \(2^2,2^3\) i przez wszystkie kolejne potęgi dwójki. Listę zamykają potęgi dwójki w kolejności malejącej. Któż więc jest sprawcą całego zamieszania?

Aleksander Szarkowski

Jest nim ukraiński matematyk Aleksander Szarkowski. W roku 1964 napisał w języku rosyjskim epokową i przełomową (jak się później okazało) pracę zawierającą wynik zwany dzisiaj twierdzeniem Szarkowskiego. Praca ta przez szereg lat pozostała niezauważona. Bardziej znane były uzyskane później (1975) i niezależnie wyniki amerykańskich matematyków Tien–Yiena Li oraz Jamesa A. Yorke’a zawierające szczególny (ale ważny) przypadek twierdzenia Szarkowskiego. Nic dziwnego: żelazna kurtyna, brak internetu, komunikacja listowna, wyniki Szarkowskiego po rosyjsku. Można było je przeoczyć.

Ciekawa jest historia spotkania Szarkowskiego i Yorke’a. Obaj panowie uczestniczyli w konferencji naukowej w Berlinie (wtedy we wschodniej, socjalistycznej części miasta). Podczas konferencyjnej wycieczki Szarkowski podszedł do Yorke’a. Szarkowski nie znał angielskiego. Światowej sławy matematyk prof. Andrzej Lasota (miałem przyjemność słuchać podczas studiów jego wykładów) pomagał rozmówcom porozumieć się. Wtedy dopiero Szarkowski zdał sobie sprawę, co naprawdę udowodnił. Dziwne są zakręty historii. O całym zdarzeniu można przeczytać w pracy Burnsa i Hasselblatta (zdecydowałem się wskazać manuskrypt pracy, gdyż wiele jej kopii jest powszechnie dostępnych w internecie) opublikowanej w znanym czasopiśmie The American Mathematical Monthly (nr 118 (2011), strony 229–244).

Tyle historii — czas na matematykę.

Porządek Szarkowskiego i jego geneza

Przypuśćmy, że dana jest funkcja \(f\) przekształcająca zbiór \(X\) w siebie, tzn. \(f(x)\in X\) dla każdego \(x\in X\). Powiemy, że \(p\in X\) jest punktem stałym funkcji \(f\), jeśli \(f(p)=p,\) tzn. transformacja \(f\) pozostawia ten punkt na swoim miejscu.

1. Dla przykładu rozważmy obrót dookoła danego punktu \(p\) płaszczyzny o zadany kąt \(\alpha\). Jest zupełnie jasne, że środek obrotu pozostaje na swoim miejscu, a każdy inny punkt zmienia swoje położenie. Środek obrotu jest więc jedynym punktem stałym obrotu.
2. Niech \(f(x)=x^2\) dla \(x\in\RR\). Jeśli rozwiążemy równanie \(f(x)=x\), to okaże się, że ta funkcja ma dwa punkty stałe: \(0\) oraz \(1\).
3. Funkcja identycznościowa (\(f(x)=x\)) określona na zbiorze nieskończonym ma nieskończenie wiele punktów stałych (są nimi wszystkie punkty dziedziny).
4. Funkcja kwadratowa \(f(x)=x^2+1\) nie ma punktów stałych.

Powróćmy do przykładu obrotu rozważając kąt \(120^{\circ}\). Po trzykrotnym wykonaniu takiego obrotu każdy punkt wraca w położenie początkowe. Powiemy więc, że każdy punkt różny od środka obrotu jest punktem okresowym rzędu \(3\).

Poniższy rysunek ilustruje przykład funkcji \(f(x)=|2x-1|\) przekształcającej przedzał \(\langle 0,1\rangle\) w siebie. Aby powiększyć obrazek, proszę kliknąć w jego obszarze.

• Wykres funkcji \(f\) (czerwona linia) przecina prostą \(y=x\) w punktach \(x=\dfrac{1}{3}\) oraz \(x=1\). Oznacza to, że równanie \(f(x)=x\) ma dwa rozwiązania, więc funkcja \(f\) ma dwa punkty stałe.
• Wykonajmy operację \(f\) dwukrotnie. Obliczmy \(f(x)\), a następnie jeszcze raz wyznaczmy wartość naszej funkcji, czyli \(f\bigl(f(x)\bigr)\) (dokonujemy w ten sposób tzw. drugiej iteracji funkcji \(f\)). Linia zielona stanowi wykres tej iteracji. Widzimy, że przecina ona prostą \(y=x\) w dwóch dodatkowych punktach \(x=0{,}2\) oraz \(x=0{,}6\) (oprócz \(x=\dfrac{1}{3}\) oraz \(x=1\)). Powiemy więc, że funkcja \(f\) ma dwa punkty okresowe rzędu \(2\), a są nimi właśnie \(x=0{,}2\) oraz \(x=0{,}6\).
• Wykonujemy operację \(f\) trzykrotnie. Wykres trzeciej iteracji funkcji \(f\) (narysowany na fioletowo) przecina prostą \(y=x\) w sześciu dodatkowych punktach (pomijamy punkty przecięcia z poprzednich kroków). Funkcja \(f\) ma więc sześć punktów okresowych trzeciego rzędu.

Mając na uwadze powyższe przykłady, możemy przejść do meritum. Można by zadać sobie pytanie czy istnienie punktów okresowych pewnego rzędu powoduje istnienie punktów okresowych innych rzędów. Jeśli dziedziną rozważanej funkcji jest płaszczyzna, to z pewnością nie. Otóż wskazany tu obrót o kąt \(120^{\circ}\) ma jeden punkt stały, a wszystkie inne punkty płaszczyzny są okresowe rzędu \(3\). Nie ma więc punktów okresowych o innych okresach. Dlatego polem sensownych rozważań pozostaje dziedzina będąca podzbiorem zbioru \(\RR\).

Załóżmy, że funkcja ciągła \(f\) odwzorowuje przedział domknięty \(\I\subset\RR\) w siebie.

Co udowodnił Szarkowski?

Szarkowski wykazał, że jeśli liczba \(n\) występuje w porządku Szarkowskiego\begin{multline}3,5,7,9,\dots,3\cdot 2^2,5\cdot 2^2,7\cdot 2^2,9\cdot 2^2,\dots,\\\dots, 3\cdot 2^3,5\cdot 2^3,7\cdot 2^3,9\cdot 2^3,\dots,2^3,2^2,2^1,1.\end{multline}wcześniej niż \(m\), to z istnienia punktu okresowego funckji \(f\) rzędu \(n\) wynika istnienie punkty okresowego funkcji \(f\) rzędu \(m\).

Ten porządek nie był wprowadzony na początku rozważań Szarkowskiego. Był konstruowany w trakcie dowodu słynnego twierdzenia i odzwierciedla jego poszczególne etapy.

Co udowodnili Li i Yorke?

Li i Yorke udowodnili, że z istnienia punktu okresowego funkcji \(f\) rzędu \(3\) wynika istnienie punktów okresowych tej funkcji wszystkich rzędów.

Zwróćmy uwagę, że twierdzenie Li i Yorke’a jest trywialnym wnioskiem z twierdzenia Szarkowskiego, gdyż liczba \(3\) występuje w porządku Szarkowskiego najwcześniej.

Występująca w moim przykładzie funkcja \(f(x)=|2x-1|\) ma w przedziale \(\langle 0,1\rangle\) punkty okresowe trzeciego rzędu. Ma więc punkty okresowe wszystkich rzędów.

Twierdzenie Li i Yorke’a, mimo, że stanowi tylko jeden przypadek twierdzenia Szarkowskiego, ma poważne konsekwencje w teorii chaosu. Tytuł ich pracy brzmiał zresztą Period three implies chaos. Ale to już temat na zupełnie nowy artykuł.

Tak więc rację miał Kubuś Puchatek mówiąc, że bałagan to nic innego jak bardzo skomplikowany porządek. Czy Szarkowski czytał Kubusia Puchatka? Tego niestety nie wiem.