Przejdź do treści

Nieznany aspekt znanego twierdzenia

Niemal wszyscy wiedzą, że liczba naturalna jest podzielna przez $9$ (odpowiednio przez $3$) wtedy i tylko wtedy, gdy suma jej cyfr jest podzielna przez $9$ (odpowiednio przez $3$). Ten prosty do sprawdzenia test podzielności można znacznie wzmocnić. W jaki sposób? Zapraszam do lektury.

Odsuńmy na bok dywagacje czym jest liczba, a czym cyfra. Matematycy lubują się w dzieleniu włosa na czworo i już po przeczytaniu pierwszego zdania artykułu sformułują co najmniej kilka uwag krytycznych (cyfra to znak graficzny służący do zapisu liczb, jaki system liczenia rozważam: czy dziesiątkowy, czy może dwójkowy, czy też szesnastkowy itd. itp.). Odnoszenie się do tego rodzaju uwag zupełnie nie wpływa na jasność wywodu, a jedynie odwraca uwagę Czytelnika od właściwej treści przekazu. Ale cóż… matematycy mają specyficzne cechy charakteru. Będąc matematykiem czasem mam je i ja. Ale przejdźmy do rzeczy.

Wspomniane na wstępie uogólnienie mało kto, gdyż rzadko jest ono nauczane w szkole. A szkoda. Poniżej zaprezentuję więc następujące twierdzenie.

Twierdzenie. Reszta z dzielenia dowolnej liczby naturalnej przez $9$ (odpowiednio przez $3$) jest taka sama, jak reszta z dzielenia sumy cyfr tej liczby przez $9$ (odpowiednio przez $3$).

Ze względu na popularyzatorski charakter mojego tekstu zdecydowałem się nie wchodzić w szczegóły dowodowe, a rozumowanie, które w dowodzie można zastosować, zilustruję na konkretnym przykładzie liczbowym.

Przykład. Wyznaczymy reszty z dzielenia liczby $5648$ przez $9$ oraz przez $3$.

W tym celu skorzystamy ze sposobu konstrukcji układu dziesiątkowego:\[5648=5\cdot 1000+6\cdot 100+4\cdot 10+8.\]Przyjrzyjmy się teraz następującemu rachunkowi:\begin{align*}
{\color{red}5648}&={\color{red}5}\cdot 1000+{\color{red}6}\cdot 100+{\color{red}4}\cdot 10+{\color{red}8}=\\
&={\color{red}5}\cdot (999+1)+{\color{red}6}\cdot (99+1)+{\color{red}4}\cdot (9+1)+{\color{red}8}=\\
&=({\color{red}5}\cdot 999+{\color{red}6}\cdot 99+{\color{red}4}\cdot 9)+({\color{red}5}+{\color{red}6}+{\color{red}4}+{\color{red}8})=\\
&=9\cdot({\color{red}5}\cdot 111+{\color{red}6}\cdot 11+{\color{red}4})+{\color{red}23}.
\end{align*}

Widzimy, że pierwszy składnik powyższej sumy jest podzielny przez $9$ (a więc i przez $3$), a suma cyfr liczby $5648$ wynosi $23$. Dlatego reszta z dzielenia liczby $5648$ przez $9$ (odpowiednio przez $3$) jest taka sama jak reszta z dzielenia sumy cyfr tej liczby (czyli $23$) przez $9$ (odpowiednio przez $3$). Szukane reszty wynoszą więc $5$ dla dzielenia przez $9$ oraz $2$ dla dzielenia przez $3$.

Powyższą metodę można zastosować w sytuacji ogólnej i ściśle udowodnić omawiane dziś twierdzenie. Pozostawiam to jako pożyteczne ćwiczenie dla zainteresowanych Czytelników.

Na koniec sprawdźmy czy obie reszty zostały poprawnie wyznaczone:

  • $5648-5=5643$, a suma cyfr tej liczby wynosi $18$, więc jest to liczba podzielna przez $9$,
  • $5648-2=5646$, a suma cyfr tej liczby wynosi $21$, więc jest to liczba podzielna przez $3$.

Tu znów okazja dla dociekliwego matematyka do wyrażenia krytyki: sprawdzam twierdzenie, które omawiam, za pomocą tego właśnie twierdzenia. Dla matematycznych purystów napiszę więc, że

  • $5648=9\cdot 627+5$,
  • $5648=3\cdot 1882+2$.

Jest bardzo wiele różnych cech podzielności, które warto zgłębić. Zapraszam do własnych poszukiwań.

PS. Warto kliknąć w obrazek znajdujący się w tekście artykułu.

6 komentarzy do “Nieznany aspekt znanego twierdzenia”

  1. Próbowałem niedawno wykombinować sprawną metodę sprawdzania pierwszości liczby z zakresu 1–300 w pamięci. Do tego potrzebujemy sprawdzać podzielność przez wszystkie pierwsze od 2 do 13 (przypadek szczególny 17×17=289 łatwo zapamiętać). Podzielność przez 7 i 11 jest jeszcze do ogarnięcia, ale czy jest jakaś w miarę szybka metoda sprawdzenia podzielności przez 13? Bo sposób opisany na Wiki, choć poprawny, jest jednak nieco za bardzo zagmatwany.

    1. Zgodzę się, że jako metoda pamięciowa, ta cecha jest trudna do sprawdzenia – duże prawdopodobieństwo pomyłki. Myślę, że powodzenia upatrywałbym w metodzie brute force, czyli w szukaniu wielokrotności 13. O czym myślę? Powiedzmy, że mamy liczbę 289. Wiemy, że 260 jest podzielne przez 13, więc zostaje nam 29, czyli reszta wynosi 3. Szybko i sprawnie. Nieprawdaż? 🙂 No to jeszcze jedno: 187. Mamy 130, zostaje 57, a podzielne przez 13 jest 52, dlatego reszta wynosi 4. No to na koniec coś większego. Robię to bez wspomagaczy kalkulatorowych: 729. 520, zostaje 209. Dalej 130, zostaje 79, podzielne przez 13 jest 65, dalej 14 i reszta wynosi 1. 🙂 Jak dla mnie to działa sprawnie. W tej chwili zastanowiłem się czy nie skorzystać z sześcianu dziewiątki? Bezpośrednio się nie da. Ale mamy 81, co daje resztę 3, a 3×9=27 daje resztę 1. Też szybko. Ale tutaj nie ma co badać pierwszości. 🙂

      1. Takiego właśnie brute force-a używam obecnie; metoda prosta i jak najbardziej poprawna, ale wymaga najpierw znalezienia wielokrotności „rozsądnie” blisko sprawdzanej liczby, potem odjęcia tego i owego raz, drugi a czasem i trzeci. A chciałoby się czegoś prostego, np. odjąć sumę cyfr na pozycjach parzystych od sumy cyfr na nieparzystych (jedenastka), albo „odciąć” ostatnią cyfrę, podwoić ją i odjąć od kawałka, który został przy odcinaniu po prawej stronie (siódemka) i tak dalej. Tymczasem dla trzynastki… No dobra. Chyba znalazłem. Podobnie jak dla siódemki, tylko zamiast mnożenia przez dwa mnożymy przez cztery, a zamiast odejmowania – dodajemy. Na przykład żeby sprawdzić czy 221 dzieli się przez 13, wykonujemy: 22+1×4=26. Dzieli się. Że też ja tego wcześniej nie znalazłem. 🙂

        1. Ten algorytm działa tylko dla podzielności, reszty nim nie znajdziemy. Np. dla 222 mamy 22+2×4=30 i reszta wychodzi 4, a prawdziwą resztą jest 1. Dość prosto udowodnić to kryterium podzielności. Ale znów zostawmy dowód zainteresowanym. Swoją drogą ciekawe będzie znalezienie szybkiego algorytmu obliczającego resztę (robi to ten, który przedstawiłem w artykule). Byłby on bardziej elegancki. 🙂

          1. No tak, ale mnie akurat reszty nie interesują w tym przypadku, tylko badanie pierwszości w głowie tj. bez kartki / komputera 🙂

            1. Szymon Wąsowicz

              Całkowicie rozumiem. Dziękuję za ciekawe pytanie inicjujące tę wymianę myśli. To pokazuje, że jednak warto pisać ten blog. Pozdrawiam bardzo serdecznie.

    Napisz komentarz