W poprzednim odcinku opisałem tzw. efekt Rungego polegający na paradoksalnym zachowaniu się wielomianów interpolacyjnych w przypadku węzłów równo rozmieszczonych w przedziale interpolacji. Metodą uniknięcia tego zjawiska jest dołożenie węzłów przy końcach tego przedziału, a najlepszym tego sposobem jest zastosowanie węzłów Czebyszewa. W tym artykule opowiem o wielomianach Czebyszewa, których te węzły są pierwiastkami.
Wielomiany Czebyszewa
Rozpocznijmy od przypomnienia wiadomości o funkcji arcus cosinus. Jest to funkcja odwrotna do funkcji cosinus rozważanej w przedziale \([0,\pi]\). Tak więc\[t=\arccos x\iff x=\cos t\]dla wszystkich \(x\in[-1,1]\) oraz \(t\in[0,\pi].\) Np. \(\arccos\frac{1}{2}=\frac{\pi}{3}\), bo \(\cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}.\) Dla naszych celów ważna jest wynikająca z powyższej definicji równość\[x=\cos(\arccos x)\] zachodząca dla wszystkich \(x\in[-1,1].\)
Wielomian Czebyszewa (pierwszego rodzaju) stopnia \(n\) określa następująca definicja:\[T_n(x)=\cos(n\arccos x)\quad\text{dla}\quad x\in[-1,1].\]Co najmniej dziwnym jest to, że wielomian definiuje się przez funkcje trygonometryczne. Jak to możliwe, że powyższy wzór w ogóle określa wielomian? Przyjrzyjmy się temu bliżej.
Dla \(n=0\) mamy\[T_0(x)=\cos(0\cdot\arccos x)=\cos 0=1.\]Dla \(n=1\) mamy natomiast\[T_1(x)=\cos(1\cdot\arccos x)=\cos(\arccos x)=x.\]To już — jak zobaczymy za chwilę — wystarczy do określenia wielomianu Czebyszewa dowolnego stopnia. Przedtem jednak obliczmy jeszcze \(T_2(x).\) Przyjmijmy \(t=\arccos x\). Wtedy\begin{align*}T_2(x)&=\cos(2\arccos x)=\cos 2t=2(\cos t)^2-1=\\&=2\bigl(\cos(\arccos x)\bigr)^2-1=2x^2-1.\end{align*}
Wyznaczanie wielomianów Czebyszewa
Przejdźmy zatem do omówienia sposobu wyznaczenia wielomianu Czebyszewa dowolnego stopnia. Skorzystamy z dwóch wzorów trygonometrycznych:\begin{align*}\cos(\alpha+\beta)&=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta,\\\cos(\alpha-\beta)&=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta.\end{align*}Jeśli dodamy je stronami, to otrzymamy\[\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)=2\cos\alpha\cos\beta.\]Stąd natychmiast wynika potrzebny nam dalej wzór\[\cos(\alpha+\beta)=2\cos\alpha\cos\beta-\cos(\alpha-\beta).\]Przyjmijmy ponownie \(t=\arccos x\). Otrzymamy\[T_n(x)=\cos(n\arccos x)=\cos nt=\cos\bigl((n-1)t+t\bigr).\]Dla \(\alpha=(n-1)t\) oraz \(\beta=t\) mamy \(\alpha-\beta=(n-2)t\). Dlatego\begin{align*}T_n(x)&=\cos(\alpha+\beta)=2\cos\alpha\cos\beta-\cos(\alpha-\beta)\\&=2\cos t\cos\bigl((n-1)t\bigr)-\cos\bigl((n-2)t\bigr)=\\&=2\cos(\arccos x)\cos\bigl((n-1)\arccos x\bigr)-\cos\bigl((n-2)\arccos x\bigr)=\\&=2xT_{n-1}(x)-T_{n-2}(x).\end{align*}Doszliśmy zatem do następującej relacji rekurencyjnej definiującej wielomiany Czebyszewa wszystkich stopni: jeśli \(x\in[-1,1]\), to\begin{align*}T_0(x)&=1,\\T_1(x)&=x,\\T_{n}(x)&=2xT_{n-1}(x)-T_{n-2}(x)\quad\text{dla}\quad n\xge 2.\end{align*}Ponieważ powyższa relacja nie wymaga już użycia funkcji trygonometrycznych, możemy przyjąć, że określa ona wielomiany Czebyszewa dla dowolnego \(x\in\RR\), aczkolwiek główne zastosowania tych wielomianów dotyczą przedziału \([-1,1]\).
Wielomiany Czebyszewa niskich stopni
Spójrzmy jak działa powyższa relacja rekurencyjna w praktyce. Dla \(n=2\) mamy\[T_2(x)=2xT_1(x)-T_0(x)=2x\cdot x-1=2x^2-1.\]Jeśli natomiast \(n=3\), to\[T_3(x)=2xT_2(x)-T_1(x)=2x(2x^2-1)-x=4x^3-3x.\]Z kolei\[T_4(x)=2xT_3(x)-T_2(x)=2x(4x^3-3x)-(2x^2-1)=8x^4-8x^2+1.\]Podobnie\begin{align*}T_5(x)&=2xT_4(x)-T_3(x)=\\&=2x(8x^4-8x^2+1)-(4x^3-3x)=16x^5-20x^3+5x.\end{align*}Widać stąd, że wyznaczenie wielomianu Czebyszewa dowolnego stopnia nie jest zadaniem trudnym, a jedynie może być czasochłonne.
Ciekawostka historyczna
Na zakończenie powiem, że wielomiany Czebyszewa wprowadził rosyjski matematyk Pafnucy Czebyszew analizując ruch tłoka parowozu oraz związany z nim ruch kół.
W kolejnym odcinku cyklu poświęconego interpolacji będę kontynuował temat tych wielomianów, których pierwiastkami są właśnie węzły Czebyszewa.