Trójmiany kwadratowe a twierdzenie Lagrange’a

Na początku Nowego Roku proszę Czytelników o przyjęcie najserdeczniejszych życzeń zdrowia oraz wszelkiej pomyślności. Niech ten rok będzie lepszy od poprzedniego.

Student matematyki lub kierunku technicznego typu mechanika i budowa maszyn, automatyka i robotyka czy też informatyka, już w pierwszym semestrze poznaje twierdzenie Lagrange’a o wartości średniej dla pochodnych. Mówi ono, że jeśli funkcja $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ jest różniczkowalna w przedziale $(x,y)$ i ciągła w przedziale $[x,y]$, to istnieje punkt $\xi\in(x,y)$ (nazwijmy go punktem Lagrange’a) taki, że zachodzi wzór Lagrange’a:
\[
f(x)-f(y)=(x-y)f'(\xi).
\]
Zobaczmy, jak działa to twierdzenie dla trójmianów kwadratowych (dokładniej dla wielomianów stopnia co najwyżej 2). Jeśli $f(x)=ax^2+bx+c$, to
\[
f(x)-f(y)=a(x^2-y^2)+b(x-y)=(x-y)\Bigl(2a\cdot\frac{x+y}{2}+b\Bigr)=(x-y)f’\Bigl(\frac{x+y}{2}\Bigr).
\]
Oznacza to, że dla dowolnych $x,y\in\mathbb{R}$ punkt Lagrange’a jest tutaj średnią arytmetyczną punktów $x,y$.

Nasuwa się pytanie czy istnieją jeszcze inne funkcje o tej własności.
Załóżmy więc, że funkcja różniczkowalna $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ spełnia dla wszystkich $x,y\in\mathbb{R}$ równanie
\[\tag{1}\label{eq1}
f(x)-f(y)=(x-y)f’\Bigl(\frac{x+y}{2}\Bigr).
\]
Wprowadzamy funkcję pomocniczą $g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ określoną wzorem
\[\tag{2}\label{eq_g}
g(x)=f(x)-f'(0)\cdot x-f(0).
\]
Pozostawiam Czytelnikowi sprawdzenie, że $g(0)=g'(0)=0$ oraz funkcja $g$ spełnia równanie \eqref{eq1}, czyli
\[\tag{3}\label{eq2}
g(x)-g(y)=(x-y)g’\Bigl(\frac{x+y}{2}\Bigr)
\]
dla wszystkich $x,y\in\mathbb{R}$. Jeśli w miejsce $x$ wstawimy tu $x+y$, a w miejsce $y$ wstawimy $x-y$, to otrzymamy stąd
\[\tag{4}\label{eq3}
g(x+y)-g(x-y)=2yg'(x)
\]
dla wszystkich $x,y\in\mathbb{R}$. W szczególności, dla $x=0$ równanie to ma postać
\[
g(y)-g(-y)=2yg'(0).
\]
Ale ponieważ $g'(0)=0$, to $g(y)=g(-y)$ dla każdego $y\in\mathbb{R}$, więc $g$ jest funkcją parzystą.

W równaniu \eqref{eq3} zamieńmy teraz rolami $x$ oraz $y$. Zauważmy, że z parzystości funkcji $g$ wynika, że $g(y-x)=g(x-y)$. Dlatego
\[\tag{5}\label{eq4}
g(x+y)-g(x-y)=2xg'(y).
\]
Ponieważ lewe strony równań \eqref{eq3} i \eqref{eq4} są identyczne, to
\[
yg'(x)=xg'(y)
\]
dla wszystkich $x,y\in\mathbb{R}$. Biorąc $y=1$ stwierdzamy, że $g'(x)=xg'(1)$. Po łatwym scałkowaniu dochodzimy do równości $g(x)=\frac{1}{2}x^2g'(1)+C$. Warunek $g(0)=0$ pozwala stwierdzić, że $C=0$, czyli $g(x)=\frac{1}{2}g'(1)\cdot x^2$.

Powróćmy teraz do równania \eqref{eq_g}. Wyznaczamy z niego $g'(1)=f'(1)-f'(0)$ oraz
\[
f(x)=g(x)+f'(0)\cdot x+f(0)=\frac{f'(1)-f'(0)}{2}\cdot x^2+f'(0)\cdot x+f(0)
\]
dla każdego $x\in\mathbb{R}$. Dlatego funkcja $f$ jest wielomianem stopnia co najwyżej 2.

Wykazaliśmy powyżej, że jeśli funkcja $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ jest różniczkowalna, a punkt Lagrange’a $\xi$ określony wzorem $f(x)-f(y)=(x-y)f'(\xi)$ jest zawsze średnią arytmetyczną argumentów $x,y$, to $f$ jest wielomianem stopnia co najwyżej 2.

Ciekawa jest interpretacja geometryczna tego faktu. Niech funkcja $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ będzie różniczkowalna. Jeśli dla każdych $x_1,x_2\in\mathbb{R}$ sieczna linii o równaniu $y=f(x)$ przecinająca ją w punktach o odciętych $x_1,x_2$ oraz styczna do tej linii w punkcie $\dfrac{x_1+x_2}{2}$ są równoległe, to linia ta jest albo prostą, albo parabolą.