Strona Szymona Wąsowicza

Piątek trzynastego

Wielu z nas jest mniej lub bardziej przesądnych. Często uważamy za pechowy trzynasty dzień miesiąca, szczególnie wtedy, gdy przypada on w piątek. Zapytajmy, czy w każdym roku znajdzie się taki miesiąc, którego trzynasty dzień to piątek.

Obliczenia związane z kalendarzem związane są z dzieleniem liczb naturalnych przez 7. Każda liczba naturalna albo jest podzielna przez 7, albo przy dzieleniu przez 7 daje resztę równą 1, 2, 3, 4, 5 lub 6 (przyjmijmy też, że liczba podzielna przez 7 daje resztę 0).

Ponumerujmy teraz kolejne dni tygodnia liczbami od 0 do 6 zaczynając od niedzieli. Załóżmy, że dzisiaj jest czwartek. Jaki dzień tygodnia będzie za 20 dni? Liczba 20 daje przy dzieleniu przez 7 resztę 6. Dlatego do liczby 4 odpowiadającej czwartkowi w liście dni tygodnia dodajemy 6. Otrzymana suma wynosi 10 i jest większa od 6. Dlatego dzielimy 10 przez 7 i wyznaczamy resztę równą 3. Stąd za 20 dni będzie środa.

Podobnie możemy ustalić, jaki dzień tygodnia odpowiada dowolnej dacie w roku, wiedząc tylko, czy ten rok jest przestępny oraz w jakim dniu się rozpoczął (ta ostatnia informacja jest w gruncie rzeczy zbędna). Ustalmy dzień tygodnia odpowiadający dacie 1 września 2000. W tym celu obliczamy, którym dniem w roku (przestępnym) jest 1 września:

5*31 + 29 + 2*30 + 1 = 245

(miesiące 31–dniowe to styczeń, marzec, maj, lipiec i sierpień; luty miał 29 dni, a miesiące 30–dniowe to kwiecień i czerwiec). Od 1 stycznia do 1 września upłynęły więc 244 dni (dnia 1.01 nie wliczamy). Dzieląc 244 przez 7 otrzymujemy resztę 6. Skoro w roku 2000 Nowy rok przypadł w sobotę, to do numeru dnia odpowiadającego sobocie (czyli 6) dodajemy wspomnianą powyżej resztę 6. Sumę wynoszącą 12 dzielimy przez 7. Reszta wynosząca 5 mówi nam, że dacie 1 września 2000 odpowiada piątek.

Jeszcze jeden przykład: ustalmy, jaki dzień tygodnia przypadł 12 kwietnia 1999. Dwunasty kwietnia jest 102 dniem w roku, który nie jest przestępny. Dlatego od 1.01.1999 do 12.04.1999 upłynęło 101 dni. Dzieląc 101 przez 7 otrzymujemy resztę 3. Pierwszym dniem roku 1999 był piątek (5). Skoro 5+3=8, a reszta z dzielenia 8 przez 7 wynosi 1, to w dniu 12.04.1999 był poniedziałek.

W poniższej tabeli znajdują się numery dni w roku odpowiadające trzynastym dniom wszystkich miesięcy oraz reszty z dzielenia tych numerów przez 7. „Rok zwykły” oznacza oczywiście rok, który nie jest przestępny. Jeśli pierwszym dniem roku jest poniedziałek, to odszukując w kolumnach reszt liczbę 5, otrzymujemy miesiące, których trzynaste dni to piątki (w roku zwykłym są to kwiecień i lipiec, a w roku przestępnym – wrzesień i grudzień).

Miesiąc	Rok zwykły		Rok przestępny
Miesiąc	Numer w roku	Reszta	Numer w roku	Reszta
styczeń	13	6	13	6
luty	44	2	44	2
marzec	72	2	73	3
kwiecień	103	5	104	6
maj	133	0	134	1
czerwiec	164	3	165	4
lipiec	194	5	195	6
sierpień	225	1	226	2
wrzesień	256	4	257	5
październik	286	6	287	0
listopad	317	2	318	3
grudzień	347	4	348	5

Jeśli pierwszym dniem roku jest wtorek, to wystarczy do reszt znajdujących się w powyższej tabeli dodać 1 i znowu poszukać liczby 5 (lub też odszukać wszystkie czwórki). Jeśli dany rok zaczyna się w środę, to dodajemy do reszt liczbę 2 itd. Pamiętajmy jednak o tym, że jeśli suma jest większa od 6, to należy jeszcze raz znaleźc resztę z dzielenia tej sumy przez 7. Poniższa tabela zawiera wyniki tych obliczeń i podaje, ile jest piątków trzynastych w dowolnym roku.

Dzień początku roku	Rok zwykły	Rok przestępny
poniedziałek	kwiecień, lipiec	wrzesień, grudzień
wtorek	wrzesień, grudzień	czerwiec
środa	czerwiec	marzec, listopad
czwartek	luty, marzec, listopad	luty, sierpień
piątek	sierpień	maj
sobota	maj	październik
niedziela	styczeń, październik	styczeń, kwiecień, lipiec

Widzimy zatem, że w każdym roku przynajmniej raz mamy piątek trzynastego, a maksymalna liczba piątków trzynastych przypadających w jednym roku wynosi 3.