Przejdź do treści

Ciekawa własność paraboli

Antena satelitarna

Czy ktoś zastanawiał się, dlaczego anteny satelitarne zwykle mają kształt paraboloidy? Kryje się za tym interesująca własność paraboli, o której z reguły w szkole się nie mówi. Fale radiowe oraz promienie świetlne mają wspólną własność. Tak jak te pierwsze odbijają się od anten, tak samo drugie od zwierciadeł. Opowiem zatem o zwierciadle parabolicznym. Zapraszam do lektury.

Parabola. Niewinna szkolna krzywa, którą od lat przedstawia się w szkole jako wykres funkcji kwadratowej \(f(x)=ax^2+bx+c\), gdzie \(a\ne 0.\) Wiele własności krzywych drugiego stopnia odkryli starożytni Grecy albo nawet Chińczycy, o których europejscy historycy nauki zaczynają wspominać dopiero od niedawna. Jedna z nich polega na tym, że dowolny promień świetlny przechodzący równolegle do osi symetrii zwierciadła parabolicznego po odbiciu od jego powierzchni przechodzi przez jeden konkretny punkt leżący na tej osi, zwany ogniskiem. Tam właśnie światło skupia się najmocniej, więc w tym miejscu jest najcieplej. Podobno Archimedes wykorzystał tę własność do podpalania wrogich okrętów atakujących sycylijskie Syrakuzy. Jeśli mówić o falach radiowych, w ognisku parabolicznej anteny satelitarnej sygnał jest najmocniejszy. Ilustruje to poniższy rysunek. Zaznaczony na nim punkt \(F\) jest właśnie ogniskiem.

Ognisko paraboli

W czasach starożytnej Grecji dowody prowadzono w sposób geometryczny, często posługując się bardzo wyrafinowanymi metodami. Najsłynniejsze jest tu chyba oszacowanie liczby \(\pi\) z dowolną dokładnością przez rozważenie wielokątów foremnych wpisanych w okrąg i opisanych na okręgu. Oczywiście już Chińczycy wiedzieli, że stosunek długości okręgu do długości jego średnicy jest stały (właśnie ta stała jest dziś znana jako \(\pi\)), co otwarło drogę do takiego rozumowania. Jednak nie o tym chciałem mówić.

Należy spodziewać się, że wspomnianą własność zwierciadeł parabolicznych można udowodnić w sposób czysto geometryczny. Ja jednak posłużę się bardziej współczesną, bo znaną od wieku XVI, geometrią analityczną.

Rozważmy więc parabolę i dobierzmy układ współrzędnych tak, aby miała ona równanie \(y=ax^2\), gdzie \(a\ne 0\). Wtedy osią symetrii jest oczywiście oś pionowa układu (oś \(y\)), a promienie świetlne które są równoległe do tej osi, biegną wzdłuż prostych o równaniach \(x=m\). Rozważmy dowolny taki promień. Na poniższym rysunku trafia on w parabolę w punkcie o współrzędnych \((m,am^2).\) Następnie odbija się od tej paraboli według zasady mówiącej, że kąt padania światła w ośrodku jednorodnym jest taki sam, jak kąt odbicia.

Zwierciadło paraboliczne: promień padający i odbity

Kąt padania światła \(\alpha\) mierzymy pomiędzy naszym promieniem, a styczną do paraboli w punkcie padania światła. Zrobimy to wykorzystując wektory prostopadłe do obu prostych.

Prosta zawierająca promień padający na parabolę ma równanie \(x=m\), więc w postaci ogólnej \(x-m=0\), a wektorem do niej prostopadłym jest \(\mathbf{u}=[1,0]\) (przypomnę, że wektor prostopadły do prostej o równaniu \(Ax+By+C=0\) ma współrzędne \([A,B]\)).

Styczna do paraboli w punkcie \((m,am^2)\) ma równanie \(y=2am(x-m)+am^2\), więc w postaci ogólnej \(2amx-y-am^2=0.\) Wektorem do niej prostopadłym jest więc \(\mathbf{v}=[2am,-1].\)

Cosinus kąta ostrego pomiędzy obiema prostymi, zaznaczonego na rysunku górnym łukiem, obliczamy wg wzoru\[\cos\alpha=\frac{|\mathbf{u}\circ\mathbf{v}|}{|\mathbf{u}|\cdot|\mathbf{v}|}\](iloraz wartości bezwzględnej iloczynu skalarnego obu wektorów przez iloczyn ich długości). Zatem\[\begin{aligned}\cos\alpha&=\frac{\bigl|[1,0]\circ[2am,-1]\bigr|}{\bigl|[1,0]\bigr|\cdot\bigl|[2am,-1]\bigr|}=\\&=\frac{\bigl|1\cdot 2am+0\cdot(-1)\bigr|}{\sqrt{1^2+0^2}\cdot\sqrt{(2am)^2+(-1)^2}}=\\&=\frac{|2am|}{\sqrt{4a^2m^2+1}}.\end{aligned}\]

Pora na promień odbity. Przechodzi on przez punkt \((m,am^2)\), więc ma równanie \(y=A(x-m)+am^2\) dla pewnego \(A\), czyli w postaci ogólnej \(Ax-y-Am+am^2=0.\). Naszym zadaniem jest znalezienie takiej wartości współczynnika \(A\), dla której kąt pomiędzy promieniem odbitym, a styczną będzie taki sam jak kąt pomiędzy promieniem padającym a styczną (na naszym rysunku kąt zaznaczony dolnym łukiem). Wektorem prostopadłym do promienia odbitego jest \(\mathbf{w}=[A,-1]\). Cosinus wspomnianego kąta (również \(\alpha\)) wyznaczamy więc według wzoru\[\cos\alpha=\frac{|\mathbf{v}\circ\mathbf{w}|}{|\mathbf{v}|\cdot|\mathbf{w}|}=\frac{\bigl|[2am,-1]\circ[A,-1]\bigr|}{\bigl|[2am,-1]\bigr|\cdot\bigl|[A,-1]\bigr|}.\]Po wykonaniu obliczeń otrzymamy\[\cos\alpha=\frac{|2amA+1|}{\sqrt{4a^2m^2+1}\cdot\sqrt{A^2+1}}.\]

Porównajmy teraz obie wartości \(\cos\alpha\). Otrzymamy równanie\[\frac{|2am|}{\sqrt{4a^2m^2+1}}=\frac{|2amA+1|}{\sqrt{4a^2m^2+1}\cdot\sqrt{A^2+1}}.\]Po wymnożeniu obu stron przez wspólny mianownik dojdziemy do postaci\[|2am|\sqrt{A^2+1}=|2amA+1|.\]Teraz podnosimy obie strony równania do kwadratu (wartość bezwzględna zniknie):\[4a^2m^2(A^2+1)=4a^2m^2A^2+4amA+1.\]Po uproszczeniu wyrażeń podobnych otrzymamy\[4a^2m^2=4amA+1.\] Jeśli \(m\ne 0\) (nie rozmawiamy o promieniu padającym dokładnie wzdłuż osi symetrii), to obliczymy\[A=\frac{4a^2m^2-1}{4am}.\]Zatem promień odbity biegnie wzdłuż prostej o równaniu\[y=\frac{4a^2m^2-1}{4am}(x-m)+am^2.\]Wstawmy do tego równania \(x=0\) i znajdźmy w ten sposób punkt przecięcia promienia odbitego z osią \(y\), czyli z osią symetrii paraboli:\[\begin{aligned}y&=\frac{4a^2m^2-1}{4am}\cdot(-m)+am^2=\\&=\frac{1-4a^2m^2}{4a}+\frac{4a^2m^2}{4a}=\frac{1}{4a}.\end{aligned}\]Tak więc punktem przecięcia promienia odbitego z osią symetrii paraboli jest\[F=\left(0,\frac{1}{4a}\right).\]Zauważmy, że współrzędne tego punktu nie zależą od \(m\), czyli od miejsca padania promienia świetlnego równoległego do osi symetrii paraboli. Zatem promienie odbite od wszystkich promieni świetlnych równoległych do osi symetrii paraboli po odbiciu od powierzchni tej krzywej przechodzę przez wspólny punkt \(F\), który został nazwany ogniskiem paraboli.

Dlatego właśnie przyrząd do rozniecania ognia mógłby mieć kształt zwierciadła parabolicznego, a odbiornik fal radiowych instaluje się w ognisku parabolicznej anteny satelitarnej (zob. zdjęcie wprowadzające do artykułu). Zadziwiającym jest, jak poważnie proste reguły matematyki ingerują w życie człowieka.

6 komentarzy do “Ciekawa własność paraboli”

  1. Parabola ma jeszcze jedną ciekawą własność: jeżeli narysujemy styczne do paraboli w trzech dowolnie wybranych punktach, a na powstałym w ten sposób trójkącie opiszemy okrąg, to okrąg ów będzie zawsze przechodził przez ognisko paraboli.

  2. No to jak szaleć to szaleć, jeszcze jedna ciekawa właściwość paraboli – tym razem bardzo konkretnego egzemplarza czyli \(y=x^2\): jeżeli chcemy pomnożyć przez siebie dwie liczby dodatnie \(a\) i \(b\), odmierzamy \(a\) jednostek w prawo od punktu \((0,0)\) (na osi \(x\)) oraz \(b\) jednostek w lewo (również na osi \(x\)), następnie od każdego z tych punktów prowadzimy linię pionową w górę. Dostaniemy dwa punkty przecięcia z parabolą (jeden nad \(a\) i drugi nad \(-b\)). Łączymy te punkty ze sobą odcinkiem, który przecina oś \(y\) na wysokości \(ab\).

    1. Bardzo dziękuję. Tu dowód jest łatwy. Rozważmy krzywą \(y=\alpha x^2.\) wystarczy napisać równanie prostej przechodzącej przez punkty \((a,\alpha a^2)\) oraz \((-b,\alpha b^2)\) i znaleźć punkt jej przecięcia z osią \(y\). Wtedy otrzymany wartość \(y=\alpha ab\), czyli iloczyn ,,z wagą” \(\alpha\). Dla \(\alpha=1\) otrzymujemy zwykły iloczyn \(ab\). Zadanie badawcze dla Czytelników: co otrzymamy, jeśli rozważymy dowolną parabolę \(y=\alpha(x-p)^2+q\) postępując podobnie jak w przedstawionym algorytmie: \(a\) jednostek w prawo od odciętej wierzchołka (czyli od \(p\)) oraz \(b\) jednostek w lewo od \(p\) i znajdziemy punkt jej przecięcia z osią symetrii paraboli, czyli z prostą \(x=p\)?

  3. Może trochę nie w temacie, ale też w zakresie krzywych nieklasycznych – kiedyś dokonywałem pomiarów znajomemu z Politechniki Śląskiej tzw. koła satelitarnego do przekładni cykloidalnej (do jego pracy „hab.”). Postać nominalna była ekwidystantą epicykloidy skróconej. Wtedy niewiele z tego zrozumiałem, ale jedno pamiętam – przekładnie „cyclo” nie są lubiane przez producentów kół zębatych (ewolwentowych) – obrabiarki skrawające do przekladni „cyclo” są prostsze w budowie, więc ich rozpowszechnienie może zagrozić zyskom producentów frezarek i szlifierek obwiedniowych (lobbing działa, tak jak nieszczęsny marketing). Ewolwenta oczywiście też należy do krzywych nieklasycznych. Powstaje m.in. jako obwiednia kolejnych położeń linii prostej nominalnie prostopadłej do prostej odtaczającej się bez poślizgu po okręgu, zwanym przez inżynierów (i chyba matematyków też) okręgiem zasadniczym, która to ewlwenta ma krzywiznę malejącą asymptotycznie do zera. Takie to nazwy matematyczne rządzą skrzyniami biegów w naszych samochodach obecnie i zapewne też w przyszłości. To tak ad vocem – dla każdego, który uważa, że matematyka jest tylko dla metamatyków.

  4. Od czasów starożytnej Grecji w czasie igrzysk olimpijskich płonął ogień. Do dziś sztafeta startująca z ogniem olimpijskim rozpala go od promieni słonecznych skupionych w ognisku paraboloidy. Tak więc matematyka ma swój udział również w sportowej rywalizacji olimpijczyków. Ponieważ WordPress nie pozwala wstawić obrazka w komentarzu, zostawiam link, pod którym można go obejrzeć.

Napisz komentarz