Czemu wychodzi?

Chyba wszyscy wiemy, że pole kwadratu o boku 2 cm wynosi 4 cm². Dlaczego? Bo \(2+2=4\). Wynik poprawny, lecz argumentacja zupełnie do niczego. Przecież pole prostokąta obliczamy mnożąc długości jego boków. Co więcej, mamy przekonujące argumenty za tym, że tak właśnie liczyć należy. W niniejszym tekście opowiem o błędzie podobnego rodzaju w bardziej zaawansowanym kontekście. Zapraszam do lektury.

Niedawno jeden z moich uczniów pokazał mi jak rozwiązał zadanie maturalne z egzaminu na poziomie rozszerzonym z maja 2019 r. (zadanie 6). Oto jego temat.

Rozważamy wszystkie liczby naturalne pięciocyfrowe zapisane przy użyciu cyfr 1, 3, 5, 7, 9, bez powtarzania jakiejkolwiek cyfry. Oblicz sumę wszystkich takich liczb.

A teraz rozwiązanie ucznia. Wszystkich liczb spełniających warunki zadania mamy \(5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=120.\) Najmniejszą taką liczbą jest 13579, a największą 97531. Tak więc \(a_1=13579\), \(a_{120}=97531\). Dlatego\begin{multline*}a_1+a_2+\dots+a_{120}=\frac{a_1+a_{120}}{2}\cdot 120 =\\= (13579+97531)\cdot 60 = 111\ 110\cdot 60 = 6\ 666\ 600.\end{multline*}O dziwo ten wynik jest poprawny. Gołym okiem widać, że uczeń zastosował wzór na sumę ciągu arytmetycznego. Ale czy nasz ciąg jest arytmetyczny? Jeśli tak, to\[a_{120}=a_1+119r,\]gdzie \(r\) jest różnicą tego ciągu. Dlatego\[r=\frac{a_{120}-a_1}{119}=\frac{97531-13579}{119}=\frac{83952}{119}=705\frac{57}{119},\]a w jaki sposób ciąg arytmetyczny o wyrazach całkowitych może mieć różnicę nie będącą liczbą całkowitą? Zatem argumentowanie sposobu rozwiązania użyciem wzoru na sumę wyrazów ciągu arytmetycznego jest dużym nadużyciem, żeby nie powiedzieć błędem merytorycznym.

Czemu jednak wynik jest poprawny, a powyższy wzór można jednak zastosować? Spójrzmy na dwie liczby: 13579 oraz 97531. Nie jest ważne, że druga jest pierwszą czytaną wspak. Liczy się fakt, że zawsze cyfry na odpowiadających sobie pozycjach sumują się do 10. Nazwijmy liczbę 97531 dopełniającą dla liczby 13579. Podobnie liczbą dopełniającą dla 31975 jest 79135 itp. Każdej liczbie spełniającej warunki zadania towarzyszy liczba dopełniająca, mamy więc 60 par liczb wzajemnie się dopełniających. Zauważmy, że suma liczb każdej takiej pary wynosi 111 110. Szukaną w zadaniu sumą rzeczywiście jest więc\[111\ 110\cdot 60 = 6\ 666\ 600.\]Zgodność ze wzorem na sumę stu dwudziestu kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego jest tu zupełnie przypadkowa.

Jaki stąd wniosek? Aby rozwiązanie zadania uznać za poprawne, należy nie tylko sprawdzić wynik. Często bardziej liczy się metoda, którą go otrzymano. Jednak sam błąd ucznia uznałem za tak interesujący, że poświęciłem mu wpis na blogu. Prowadzi bowiem do pytania czy jeśli dla jakiegoś skończonego ciągu liczbowego sumę wszystkich jego wyrazów można obliczyć wg wzoru na sumę wyrazów ciągu arytmetycznego, to ciąg ten rzeczywiście jest arytmetyczny. Dla ciągu trzywyrazowego \(a,b,c\) rzeczywiście tak jest, bo jeśli\[a+b+c=\frac{a+c}{2}\cdot 3,\]to po prostych przekształceniach dojdziemy do wniosku, że\[b=\frac{a+c}{2},\]a to oznacza, że ciąg liczb \(a,b,c\) jest arytmetyczny.

Zastanówmy się jednak nad ciągiem czterowyrazowym \(a,b,c,d\). Jeśli jego sumę można obliczyć wg wzoru na sumę wyrazów ciągu arytmetycznego, to\[a+b+c+d=\frac{a+d}{2}\cdot 4=2(a+d).\]Stąd natychmiast wynika, że \(a+d=b+c\), co wygodniej zapisać w postaci\[\frac{a+d}{2}=\frac{b+c}{2},\]czyli liczby \(a,d\) oraz \(b,c\) mają tę samą średnią arytmetyczną. Mamy nieskończenie wiele tego rodzaju ciągów. Np. 1, 2, 8, 9 czy też 3, 7, 20, 23 itp. Bynajmniej nie są to ciągi arytmetyczne. Ale powyższy warunek równości średnich arytmetycznych blisko związany jest z matematyką wyższą, a mianowicie z tzw. majoryzacją (na jej temat napisano wiele książek) oraz funkcjami wypukłymi w sensie Wrighta, którymi zajmowałem się naukowo.

Jeden błąd, a jak ciekawe konsekwencje. Ciekawe co powiedziałaby o nim śp. prof. Anna Zofia Krygowska, wielki autorytet w dziedzinie dydaktyki matematyki, w kontekście swojej koncepcji błogosławionego błędu.