Już od dłuższego czasu nie było na blogu ,,twardej” matematyki. Wracając do prezentacji mniej znanych twierdzeń chciałbym przybliżyć pewien fakt, który pozwala na uzyskiwanie w prosty i jednolity sposób znanych (ale i nowych) nierówności związanych z funkcjami wypukłymi. Mowa o Lemacie Ohlina. Zapraszam do lektury.Dowiedz się więcej »Zakamarki wypukłości, część 9
Jak anonsowałem w poprzednim artykule, podstawową rolę w teorii funkcji wypukłych odgrywa nierówność Jensena. Dziś wykażę z jej użyciem, że funkcja wykładnicza jest wypukła. Zapraszam do lektury.Dowiedz się więcej »Zakamarki wypukłości, część 8
Po kilku wpisach natury publicystycznej powracam do cyklu dotyczącego funkcji wypukłych. Jedną z ważniejszych nierówności w teorii funkcji wypukłych jest nierówność Jensena. Zapraszam do lektury.Dowiedz się więcej »Zakamarki wypukłości, część 7
Dotychczasowa część cyklu o własnościach funkcji wypukłych w dużej mierze poświęcona była monotoniczności ilorazów różnicowych. Fakt ten ma w teorii wypukłości doniosłe znaczenie. Dziś opowiem o kolejnej jego konsekwencji, którą jest istnienie prostych podpierających wykres funkcji wypukłej. Zapraszam do lektury.Dowiedz się więcej »Zakamarki wypukłości, część 6
W poprzednim odcinku cyklu mówiłem o tym, że ilorazy różnicowe funkcji wypukłej są niemalejące. Dziś opowiem o konsekwencjach tego prostego, lecz bardzo ważnego faktu. Wiążą się one w dużej mierze z różniczkowalnością. Zapraszam więc do lektury.Dowiedz się więcej »Zakamarki wypukłości, część 5
Dzisiejszy odcinek cyklu omawia kolejną ważną własność: funkcja jest wypukła wtedy i tylko wtedy, gdy jej ilorazy różnicowe są niemalejące. Temu zdaniu brak jeszcze matematycznej precyzji, choć oczywiście występują tu pojęcia matematyczne. Zapraszam więc do lektury.Dowiedz się więcej »Zakamarki wypukłości, część 4
Dzisiejszy odcinek cyklu o funkcjach wypukłych pokaże, jak bardzo wiążą się one z wypukłymi podzbiorami płaszczyzny. Co to jest zbiór wypukły? Wypukłe są koła, prostokąty, wielokąty będące częściami wspólnymi skończenie wielu półpłaszczyzn itp. Istnieją oczywiście zbiory wypukłe nie mające takiej postaci.Dowiedz się więcej »Zakamarki wypukłości, część 3
W poprzednim odcinku cyklu pokazałem trzy definicje funkcji wypukłej. Dziś omówię znaczenie najogólniejszej z nich. Definicja ta, jak też samo pojęcie funkcji wypukłej i jej podstawowe własności, należy do szeroko pojętej kultury matematycznej. Zapraszam więc do lektury.Dowiedz się więcej »Zakamarki wypukłości, część 2
Nowy rok, nowe zadania, nowe wyzwania. Może to dobry czas na rozpoczęcie kolejnego cyklu artykułów. Tym razem opowiem o korzeniach moich zainteresowań naukowych. Są nimi funkcje wypukłe. Zapraszam więc do lektury.Dowiedz się więcej »Zakamarki wypukłości, część 1