Jak anonsowałem w poprzednim artykule, podstawową rolę w teorii funkcji wypukłych odgrywa nierówność Jensena. Dziś wykażę z jej użyciem, że funkcja wykładnicza jest wypukła. Zapraszam do lektury.
Rozpocznę od wykazania jednej z ważniejszych nierówności, jaka zachodzi pomiędzy średnimi arytmetyczną\[A(x,y)=\frac{x+y}{2}\,,\]geometryczną\[G(x,y)=\sqrt{xy}\]oraz harmoniczną\[H(x,y)=\frac{1}{\tfrac{\tfrac{1}{x}+\tfrac{1}{y}}{2}}\,,\]gdzie $x, y>0$. Ze względu na pierwsze litery nazw tych średnich, ma ona interesującą nazwę nierówność AGH. Nie każda uczelnia może poszczycić się ,,swoją” nierównością.
Załóżmy więc, że $x, y>0$. Wtedy $(\sqrt{x}-\sqrt{y})^2\xge 0$, co oznacza, że\[x+y-2\sqrt{xy}\xge 0\,,\]czyli\[\frac{x+y}{2}\xge\sqrt{xy}\,.\tag{AG}\label{AG}\]Zastosujmy teraz tę nierówność do liczb dodatnich $\frac{1}{x}, \frac{1}{y}$:\[\frac{\tfrac{1}{x}+\tfrac{1}{y}}{2}\xge\sqrt{\frac{1}{xy}}\,,\]skąd\[\sqrt{xy}\xge\frac{1}{\tfrac{\tfrac{1}{x}+\tfrac{1}{y}}{2}}\,,\] co kończy dowód nierówności AGH:\[A(x,y)\xge G(x,y)\xge H(x,y)\qquad\text{dla dowolnych } x, y>0\,.\]Zauważmy, że dowód ten wykorzystywał jedynie wzór skróconego mnożenia i nie angażował w żaden sposób pojęcia wypukłości funkcji. W tym ujęciu nierówność AGH (ściślej część AG) może posłużyć do wykazywania nierówności Jensena dla konkretnych funkcji. Jeśli funkcje te są ciągłe, w myśl poprzedniego artykułu tej serii są już wypukłe.
Przypomnę, że nierówność Jensena dla funkcji $f:\I\to\RR$ (gdzie $\I\subset\RR$ jest przedziałem) ma postać\[f\Bigl(\frac{x+y}{2}\Bigr)\xle\frac{f(x)+f(y)}{2}\quad\text{dla wszystkich }x, y\in\I\,.\]
Zajmijmy się funkcją wykładniczą $f:\RR\to\RR$ określoną wzorem $f(x)=a^x$ (gdzie $a>0$). Wiemy, że funkcja wykładnicza przyjmuje wartości dodatnie. Niech więc $x, y\in\RR$. Zastosujmy nierówność \eqref{AG} do liczb dodatnich $a^x, a^y$:\[\frac{a^x+a^y}{2}\xge\sqrt{a^x\cdot a^y}\,,\]skąd natychmiast\[a^{\tfrac{x+y}{2}}\xle\frac{a^x+a^y}{2}\]dla wszystkich $x, y\in\RR$. Dlatego funkcja wykładnicza $f(x)=a^x$ spełnia nierówność Jensena, więc (jako funkcja ciągła) jest wypukła.
Wypukłość funkcji wykładniczej otwiera drogę do dowodzenia wielu ciekawych nierówności. Ale to już temat na inny artykuł.