Zakamarki wypukłości, część 7

Po kilku wpisach natury publicystycznej powracam do cyklu dotyczącego funkcji wypukłych. Jedną z ważniejszych nierówności w teorii funkcji wypukłych jest nierówność Jensena. Zapraszam do lektury.

Funkcja wypukła

Przypomnę, że funkcja $f:\I\to\RR$ (gdzie $\I\subset\RR$ jest przedziałem) jest wypukła, jeśli nierówność\[f\bigl(tx+(1-t)y\bigr)\xle tf(x)+(1-t)f(y)\tag{W}\label{1}\]zachodzi dla każdych $x, y\in\I$ oraz dla każdego $t\in[0,1]$. W szczególności, dla $t=\frac{1}{2}$, otrzymujemy nierówność Jensena:\[f\Bigl(\frac{x+y}{2}\Bigr)\xle\frac{f(x)+f(y)}{2}\quad\text{dla wszystkich }x, y\in\I\,.\]Zastanówmy się nad nią. Przypuśćmy, że postulujemy jedynie, że funkcja $f$ nierówność Jensena. Czy $f$ jest funkcją wypukłą?

Jeśli $f$ jest funkcją ciągłą, to jest już funkcją wypukłą. Można to łatwo wykazać iterując nierówność Jensena. Zastosujmy ją do argumentów $x$ oraz $\frac{x+y}{2}$:\[f\left(\frac{x+\frac{x+y}{2}}{2}\right)\xle \frac{f(x)+f\bigl(\frac{x+y}{2}\bigr)}{2}\xle\frac{f(x)+\frac{f(x)+f(y)}{2}}{2}\,,\]czyli\[f\Bigl(\frac{3}{4}x+\frac{1}{4}y\Bigr)\xle\frac{3}{4}f(x)+\frac{1}{4}f(y)\,.\]Jeśli zastosujemy nierówność Jensena np. do argumentów $\frac{3}{4}x+\frac{1}{4}y$ oraz $y$, otrzymamy\[f\Bigl(\frac{3}{8}x+\frac{5}{8}y\Bigr)\xle\frac{3}{8}f(x)+\frac{5}{8}f(y)\,.\]Żonglując w ten sposób nierównością Jensena możemy dojść do nierówności\[f\Bigl(\frac{k}{2^n}x+\frac{2^n-k}{2^n}y\Bigr)\xle \frac{k}{2^n}f(x)+\frac{2^n-k}{2^n}f(y)\]dla wszystkich $x,y\in\I$, wszystkich liczb naturalnych $n$ oraz dla każdego $k\in\{0, 1, \dots, 2^n\}$.

Zbiór liczb postaci $\frac{k}{2^n}$ (gdzie $n\in\NN$ oraz $k\in\{0,1,,\dots,2^n\}$) jest gęsty w przedziale $[0,1]$, więc dodając założenie ciągłości i ustalając dowolne $t\in[0,1]$, łatwo sprawdzamy nierówność \eqref{1}. Funkcje ciągłe spełniające nierówność Jensena są zatem wypukłe.

Zapytajmy jednak ogólniej: czy każda funkcja spełniająca nierówność Jensena jest wypukła? Tu odpowiedź jest negatywna. Przekonuje nas o tym istnienie nieciągłych funkcji addytywnych, tj. funkcji $f:\RR\to\RR$ spełniających równanie\[f(x+y)=f(x)+f(y)\] dla wszystkich $x, y\in\RR$. W artykule dotyczącym analogii w rozumowaniach pokazałem, że każda funkcja spełniająca to równanie spełnia też równanie\[f(qx)=qf(x)\]dla wszystkich $x, y\in\RR$ oraz dla każdej liczby wymiernej $q$.

Dalsza część jest bardziej zaawansowana. Otóż powyższe dwa równania mówią, że funkcja addytywna jest funkcjonałem liniowym na przestrzeni liniowej liczb rzeczywistych nad ciałem liczb wymiernych. Jako takie wystarczy je zadać na bazie tej przestrzeni (zwanej bazą Hamela) i rozszerzyć na cały zbiór $\RR$. Funkcja addytywna jest ciągła wtedy i tylko wtedy, gdy po obcięciu do bazy Hamela $H$ spełnia warunek\[H\ni h\mapsto\frac{f(h)}{h}\quad\text{jest funkcją stałą.}\] Oczywiście można np. określić $f(h_0)=1$ dla pewnego wybranego $h_0\in H$ oraz $f(h)=0$ dla pozostałych $h\in H$. Wtedy iloraz $\frac{f(h)}{h}$ nie jest stały na $H$ i odpowiednia funkcja addytywna nie jest ciągła.

Na zakończenie zauważmy, że oczywiście każda funkcja addytywna spełnia nierówność Jensena (nawet z równością). Nieciągła funkcja addytywna nie jest jednak wypukła, gdyż jej wykres jest gęstym podzbiorem płaszczyzny (co nie należy to faktów oczywistych).

3 komentarze

Dodaj komentarz