Zakamarki wypukłości, część 6

Dotychczasowa część cyklu o własnościach funkcji wypukłych w dużej mierze poświęcona była monotoniczności ilorazów różnicowych. Fakt ten ma w teorii wypukłości doniosłe znaczenie. Dziś opowiem o kolejnej jego konsekwencji, którą jest istnienie prostych podpierających wykres funkcji wypukłej. Zapraszam do lektury.

Proste podpierające

Niech funkcja $f:\I\to\RR$ (gdzie $\I\subset\RR$ jest przedziałem) będzie wypukła. Dalej, niech $a$ będzie punktem wewnętrznym przedziału $\I$. Rozumując podobnie jak w poprzednim odcinku możemy przekonać się, że jeśli $x < a < y$, to\[\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\xle f'_{\substack{\vphantom{o}\\-}}(a)\xle f'_+(a)\xle\frac{f(y)-f(a)}{y-a}\,.\]Przekształcając te nierówności dochodzimy do następujących wniosków:\begin{align*}f'_{\substack{\vphantom{o}\\-}}(a)(x-a)+f(a)&\xle f(x)&\text{dla }x < a,\\f'_+(a)(x-a)+f(a)&\xle f(x)&\text{dla }x < a,\\f'_{\substack{\vphantom{o}\\-}}(a)(y-a)+f(a)&\xle f(y)&\text{dla }y > a,\\f’_+(a)(y-a)+f(a)&\xle f(y)&\text{dla }y > a.\end{align*}Oznacza to, że dla wszystkich $x\in\I$ otrzymujemy $g_{\substack{\vphantom{o}\\-}}(x)\xle f(x)$ oraz $g_+(x)\xle f(x)$, gdzie\begin{align*}g_{\substack{\vphantom{o}\\-}}(x)&=f’_{\substack{\vphantom{o}\\-}}(a)(x-a)+f(a),\\g_+(x)&=f’_+(a)(x-a)+f(a).\end{align*} Oczywiście $g_{\substack{\vphantom{o}\\-}}(a)=g_+(a)=f(a)$. Mówimy, że te dwie funkcje podpierają funkcję $f$ w punkcie $a$.

Jeśli to wiemy, łatwo sprawdzić, że dla każdego $\alpha\in\bigl[f’_{\substack{\vphantom{o}\\-}}(a)\,,\,f’_+(a)\bigr]$ funkcja liniowa\[g_{\alpha}(x)=\alpha(x-a)+f(a)\] także podpiera funkcję $f$, tzn. $g_{\alpha}(a)=f(a)$ oraz $g_{\alpha}(x)\xle f(x)$ dla wszystkich $x\in\I$ (pozostawiam to Czytelnikom).

W drugą stronę, przypuśćmy teraz, że jakaś funkcja liniowa $g$ podpiera funkcję $f$, tj. $g(a)=f(a)$ oraz $g(x)\xle f(x)$ dla każdego $x\in\I$. Wtedy $g(x)=\alpha(x-a)+f(a)$ dla pewnego $\alpha$. Można teraz sprawdzić, że z warunku $g\xle f$ wynika, że $\alpha\in\bigl[f’_{\substack{\vphantom{o}\\-}}(a)\,,\,f’_+(a)\bigr]$, co też pozostawiam Czytelnikom.

Reasumując, wykazaliśmy, że funkcja wypukła $f:\I\to\RR$ ma w każdym punkcie wewnętrznym dziedziny liniową funkcję podpierającą. Ponadto wszystkie (i tylko te) funkcje liniowe, których współczynniki kierunkowe leżą pomiędzy pochodnymi jednostronnymi w tym punkcie, podpierają w nim naszą funkcję. Mamy stąd dużo więcej. Czasem zdarza się, że funkcja wypukła $f$ ma w punkcie $a$ dokładnie jedną prostą podpierającą. Z powyższych rozważań otrzymujemy natychmiast, że wtedy funkcja $f$ jest różniczkowalna w punkcie $a$.

Całą sytuację obrazuje rysunek ilustrujący dzisiejszy artykuł. Wszystkie proste leżące w żółtym obszarze podpierają funkcję $f$ w punkcie $x_0=1$, w którym nie jest ona różniczkowalna.

Funkcja kwadratowa $f(x)=x^2$ jest różniczkowalna. Proszę wyznaczyć jej proste podpierające w każdym punkcie $x_0\in\RR$. Proszę też zanalizować sprawę prostych podpierających dla funkcji $f(x)=\lvert x\rvert$.

Dziś zadałem Czytelnikom dużo ćwiczeń. Ale teraz ćwiczenie najważniejsze. Proszę wykazać, że jeśli jakaś funkcja $f:\I\to\RR$ ma w każdym punkcie wewnętrznym przedziału $\I$ prostą podpierającą, to funkcja $f$ jest wypukła. Dlatego mówimy, że własność istnienia prostych podpierających charakteryzuje wypukłość funkcji.

Im dalej w las, tym więcej drzew. Czy ten cykl nie da materiału na jakiś wykład monograficzny?

4 komentarze

  1. Bardzo ładnie i przejrzyście! Gdy czytam Pana wpisy na blogu, to podziwiam, że w tak prosty i przejrzysty sposób można omawiać, często nie proste zagadnienia. Pozwoli Pan, że zapytam: czy dydaktyka jest Pana pasją, czy raczej tylko obowiązkiem?

    1. Dziękuję, miło czytać takie komentarze. Zachęca to do pisania tego bloga. Co do zasadniczego pytania, pozwolę sobie odbić piłkę. Jakie jest Twoje wrażenie po lekturze innych wpisów: dydaktyka jest moją pasją czy tylko obowiązkiem? 🙂

    1. Tak — to pasja. Są nią oba rodzaje działalności: zarówno naukowa, jak i dydaktyczna. W tej drugiej radość sprawia to, że studenci zyskują na moich zajęciach jakąś wiedzę, którą później wykorzystują często mi o tym mówiąc. Radością jest satysfakcja studenta. Cieszą zadawane pytania, zwłaszcza te wykraczające (czasem znacznie) poza program wykładów. Pasja pozwala mi po 25 latach pracy zachować świeżość i każdy wykład prowadzić tak, jakby był pierwszy, dziewiczy. Idąc na wykład odczuwam radość: znów będę mógł coś nowego studentom powiedzieć. To tak jak lis w Małym Księciu opisuje dreszczyk oczekiwania na spotkanie z przyjacielem:

      Gdy będziesz miał przyjść na przykład o czwartej po południu, już od trzeciej zacznę odczuwać radość. Im bardziej czas będzie posuwać się naprzód, tym będę szczęśliwszy. O czwartej będę podniecony i zaniepokojony: poznam cenę szczęścia!

      Immanentną częścią tej pasji jest popularyzacja matematyki: pisanie bloga, uczestnictwo w forach matematyka.pl oraz statystycy.pl, wykłady na festiwalach nauki czy w szkołach średnich. Zdarzyło się, że matematyka jest jednocześnie moim zawodem i hobby.

Dodaj komentarz