Zakamarki wypukłości, część 5

W poprzednim odcinku cyklu mówiłem o tym, że ilorazy różnicowe funkcji wypukłej są niemalejące. Dziś opowiem o konsekwencjach tego prostego, lecz bardzo ważnego faktu. Wiążą się one w dużej mierze z różniczkowalnością. Zapraszam więc do lektury.


Funkcja wypukła

Istnienie pochodnych jednostronnych

Wiadomo, że funkcja monotoniczna ma w każdym punkcie skupienia dziedziny obie granice jednostronne. Niech $\varphi$ będzie funkcją niemalejącą w przedziale $(a,b)$. Wtedy $\varphi(a^+)=\lim\limits_{t\to a^+}\varphi(t)\xle\varphi(x)$ oraz $\varphi(x)\xle\varphi(b^-)$ dla każdego $x\in(a,b)$.

Niech teraz $f:\I\to\RR$ będzie funkcją wypukłą określoną w przedziale $\I\subset\RR$ oraz niech $a$ będzie punktem wewnętrznym przedziału $\I$. Funkcja\[\varphi(t)=\frac{f(t)-f(a)}{t-a}\]określona w zbiorze $\I\setminus\{a\}$ (którego punktem skupienia jest $a$), a określająca ilorazy różnicowe funkcji $f$, jest niemalejąca. Dlatego istnieją granice jednostronne $f’_{\substack{\vphantom{o}\\-}}(a)=\varphi(a^-)$ oraz $f’_+(a)=\varphi(a^+)$. Wykazaliśmy więc, że funkcja wypukła ma w każdym punkcie wewnętrznym dziedziny obie pochodne jednostronne.

Ustalmy teraz $x,y\in\I$ takie, że $x < a < y$. Można to zrobić właśnie na mocy założenia, że $a$ jest punktem wewnętrznym przedziału $\I$. Wiemy, że\[\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\xle\frac{f(y)-f(a)}{y-a}\,.\] Z tego, co powiedziano powyżej o granicach jednostronnych funkcji monotonicznych, możemy przejść do granicy przy $x\to a^-$ otrzymując\[f'_{\substack{\vphantom{o}\\-}}(a)\xle\frac{f(y)-f(a)}{y-a}\,.\]Przechodząc jeszcze raz do granicy przy $y\to a^+$ mamy, że $f'_{\substack{\vphantom{o}\\-}}(a)\xle f'_+(a)$.

Pochodne jednostronne są niemalejące

Znów zakładamy, że $f$ jest funkcją wypukłą. Ustalmy punkty wewnętrzne $x,y\in\I$ takie, że $x < y$ oraz dowolne $u, v$ takie, że $x < u < v < y$. Ponieważ ilorazy różnicowe są niemalejące, to\[\frac{f(x)-f(u)}{x-u}\xle\frac{f(u)-f(v)}{u-v}\xle\frac{f(v)-f(y)}{v-y}\,.\]Tak więc, w szczególności,\[\frac{f(x)-f(u)}{x-u}\xle\frac{f(v)-f(y)}{v-y}\,.\] Przechodząc do granic przy $u\to x^+$ oraz przy $v\to y^-$ otrzymujemy, że $f'_+(x)\xle f'_{\substack{\vphantom{o}\\-}}(y)$. Skoro zawsze pochodna lewostronna jest nie większa niż pochodna prawostronna, to\[f'_{\substack{\vphantom{o}\\-}}(x)\xle f'_+(x)\xle f'_{\substack{\vphantom{o}\\-}}(y)\xle f'_+(y)\,,\]co w szczególności pokazuje, że obie pochodne jednostronne są funkcjami niemalejącymi.

♦♦♦

Można też pokazać, że funkcja wypukła jest ciągła w każdym punkcie wewnętrznym przedziału $\I$. Korzystając z tej ciągłości można wykazać, że pochodne jednostronne są równe wszędzie poza (ewentualnie) zbiorem co najwyżej przeliczalnym, więc funkcja wypukła jest prawie wszędzie różniczkowalna. W kolejnym odcinku opowiem jednak o prostych podpierających funkcje wypukłe.

3 komentarze

  1. Z ciekawością czekam na dalsze odcinki, a tym czasem chcę donieść Szanownemu Autorowi że anatomicznie rzecz biorąc, wypukłość jako obłość zewnętrzna nie ma zakamarków których nie brak jest wklęsłościom.

    1. Dziękuję za tę miłą zabawę językową. W zasadzie każdy zdrowy mężczyzna jest specjalistą od wypukłości. 🙂

Dodaj komentarz