Wiele lat temu w dniu 1 kwietnia pozwoliłem sobie na mały żart. Podczas wykładu posłałem studenta na portiernię po trochę kredy oraz funkcjonał liniowy. Słowo liniowy mogłoby wskazywać na linijkę, której przecież używa się do robienia rysunków. Student wrócił z kredą i informacją, że tej drugiej rzeczy nie było. Bo być nie mogło. Dlaczego? Zapraszam do lektury.
Dobrym źródłem pomysłów na blogowe artykuły są rozmowy. Jedną z nich odbyłem z kolegą z liceum. Wspominaliśmy minione czasy, ale zeszło i na matematykę. W jakiś magiczny sposób padło słowo funkcjonał. I na tym słowie skupię się dzisiaj. Sens przydawki przymiotnej liniowy wyjaśnię kiedy indziej. Nie wszystko od razu.
W szkolnym kursie matematyki mówimy o funkcjach. Przypomnę, że o funkcji $f$ odwzorowującej zbiór $A$ (zwany dziedziną) w zbiór $B$ (zwany przeciwdziedziną) mowa wtedy, gdy każdemu elementowi $a\in A$ przyporządkowano dokładnie jeden element $b\in B$ (oznaczany $b=f(a)$). Tak więc (dla przykładu) funkcją jest przypisanie Polakowi jego numeru PESEL. Istotnie, każdemu Polakowi odpowiada dokładnie jedna liczba $11$–cyfrowa. Dziedziną tej funkcji jest zbiór wszystkich Polaków, zaś przeciwdziedziną zbiór liczb naturalnych (można oczywiście ograniczyć się do liczb naturalnych $11$–cyfrowych). Funkcjami są też przekształcenia geometryczne jak translacje, symetrie, obroty itp.
W szkole mówimy zwykle o funkcjach liczbowo–liczbowych czyli odwzorowujących podzbiór zbioru liczb rzeczywistych w (ewentualnie inny) podzbiór zbioru liczb rzeczywistych. Np. wzór $f(x)=(x^2+3)\cdot 2^{x+1}$ definiuje nam funkcję określoną w zbiorze $\RR$. Tutaj dochodzimy do sedna sprawy. Obliczmy wartość $f(0)$. Mamy \[f(0)=(0^2+3)\cdot 2^{0+1}=3\cdot 2=6.\]Cóż w tym nowego? Wykonujemy proste obliczenia i już. Ale zmieńmy funkcję: dla $g(x)=\cos x$ mamy $g(0)=\cos 0=1$. Jeśli weźmiemy jeszcze inną funkcję, możemy otrzymać inną wartość. Co tu się stało?
Dla każdej funkcji $f$ takiej, że liczba $0$ należy do jej dziedziny, możemy obliczyć wartość $f(0)$. To łatwe. Ale odczytajmy to inaczej. Każdej funkcji $f$ określonej przynajmniej w zerze, przypisaliśmy dokładnie jedną liczbę $f(0)$. Określiliśmy w ten sposób inną funkcję, oznaczmy ją przez $T$. Jej dziedziną jest zbiór wszystkich funkcji określonych w zerze. Wartość funkcji $T$ obliczamy wg wzoru\[T(f)=f(0).\]
Cóż to za dziwoląg? Funkcja, której dziedziną jest zbiór funkcji, a zbiorem wartości zbiór liczb rzeczywistych? Słowa funkcja używamy tu w dwóch kontekstach. Tak więc o $T$ będziemy mówić jako o funkcjonale. Obliczenie wartości funkcji w zerze to przykład funkcjonału.
Oczywiście błędem jest stwierdzenie, że funkcjonał to funkcja określona na zbiorze funkcji. Np. funkcjonałem jest też odwzorowanie przypisujące wektorowi jego długość. Dziedziną jest zbiór wektorów (powiedzmy płaszczyzny czy przestrzeni), zaś przeciwdziedziną zbiór liczb nieujemnych. Wróćmy jednak do funkcjonałów określonych na funkcjach. Rozważmy funkcjonał \[\Phi(f)=f'(2).\]Niech $f(x)=x^2$. Skoro $f'(x)=2x$, to $\Phi(f)=f'(2)=4$. Jeśli $g(x)=x^5$, to $g'(x)=5x^4$ oraz $\Phi(g)=g'(2)=5\cdot 16=80$ itp. Domyślności Czytelników pozostawię określenie dziedziny funkcjonału $\Phi$.
Po co w ogóle te funkcjonały? Używamy ich w wielu miejscach. Te, które omawiam w niniejszym artykule, przydają się do przybliżonego obliczania całek (tzw. kwadratury), przybliżonego obliczania pochodnych, monitorowania zjawisk opisanych funkcjami i w wielu innych miejscach. Podam przykłady kilku funkcjonałów.
- Kwadratura trapezów\[T(f)=f(-1)+f(1)\] oblicza przybliżoną wartość całki $\displaystyle\int\limits_{-1}^1f(x)\,\dd x.$
- Kwadratura Simpsona\[S(f)=\frac{f(-1)+4f(0)+f(1)}{3}\]też przybliża powyższą całkę.
- Funkcjonałem jest też sama całka oznaczona. Rozważmy zbiór wszystkich funkcji $f$ całkowalnych w przedziale $[a, b]$ i przyjmijmy\[\mathcal{I}(f)=\int\limits_a^b f(x)\,\dd x.\] Tu również mamy do czynienia z przypisaniem funkcji pewnej wartości liczbowej.
- Funkcjonał
\[D(f)=\frac{f(0{,}01)-f(0)}{0{,}01}\]przybliża wartość pochodnej $f'(0)$. Dla funkcji liniowych podaje nawet dokładną wartość tej pochodnej. Jeśli $f(x)=x^2$, to \[D(f)=\frac{\bigl(0{,}01)^2-0^2}{0{,}01}=0{,}01,\]zaś $f'(0)=0$. Wobec tego dla tej funkcji $f'(0)\approx D(f)$.
A co z nieszczęsną przydawką liniowy? Nie wchodząc w szczegóły powiem tylko, że długość wektora nie jest funkcjonałem liniowym, a wszystkie inne funkcjonały wymienione w tym artykule są liniowe.
Dobrym źródłem pomysłów na artykuły są rozmowy? 😀 Ja jeszcze w ten sposób nie wpadłam na żadną ciekawą ideę. 🙂 Ale każdy czerpie inspirację z innych źródeł!
A pomysł z przypisaniem numeru PESEL do człowieka jest świetnym przykładem funkcji. Czasami takiego ,,ludzkiego” podejścia do matematyki brakuje nauczycielom. U mnie nauczyciel mówił o numerze dziennika w klasie, który jest przypisany do każdego ucznia. Ale moja matematyczka nie starała się podawać specjalnie przykładów, które obrazowałyby całą sytuację. A teraz się dziwi, że nie ma dobrej zdawalności matur. 😀
A co do reszty mam ciężko się odnieść skoro dopiero w październiku zaczynam studia, ale miło dowiedzieć się czegoś nowego, więc dziękuję za taką dawkę wiedzy! 🙂
W dobie Internetu zanika sztuka rozmawiania. Dwie bliskie sobie osoby na randce smartfonują. A szkoda. Bardzo ważnym elementem rozmowy jest słuchanie. Z tego czerpie się inspirację. Mając 26 lat praktyki zawodowej czasem jeszcze nie potrafię sobie uświadomić, że coś zupełnie nieoczekiwanego, uznawanego ,,przez ogół” za oczywiste, może w ogóle sprawiać studentowi problem. Gdyby ten student mi nie powiedział, z czym ma kłopot, trwałbym w nieświadomości. No i już jest temat na wpis, jakąś popularyzację. Staraj się rozmawiać tak, aby wyciągnąć jakąś korzyść dla bloga. Blogerem jest się 24 godziny na dobę.
A sami nauczyciele… są różni. Musimy wziąć pod uwagę czy ktoś ma doświadczenie, czy je dopiero zdobywa. Trudno po pierwszych paru latach pracy sypać ciekawymi przykładami z rękawa. To przyjdzie, ale trzeba być cierpliwym. I też słuchać bardziej doświadczonych kolegów. Ile ja się od nich nauczyłem…
Oj tu jestem w stanie się posprzeczać! 😀 Niedawno zaczęłam umawiać się z fajnym kolegą i żadne z nas celowo nie wyciągnęło telefonu przy sobie. Tylko gdy naprawdę był potrzebny, np. ja sprawdzałam pociągi do domu. 😀 Ale tak, rozumiem, że odniesienie miało być do ogółu nastolatków, a nie jednostek. 🙂
Witaj Szymon,
przepraszam za to, iż moje poniższe pytanie trąci bardziej techniką (pomiarami) niż matematyką. Pytanie dotyczy pierwszego rysunku na tej stronie – czyli linijki. Jaką jednostkę miary ma najczęściej stosowany rodzaj linijki w systemie metrycznym – zazwyczaj jest to 1 cm dzielony na 10 mm? A pokazane na rysunku 8 działek elementarnych (pomiędzy tymi opisanymi cyframi – tylko parzystymi, co oczywiście nie jest żadną ujmą, ale czymś rzadko stosowanym) nie pasuje ani do metrycznego ani do calowego (już dziś w Europie prawie nieużywanego) systemu miar.
Pozdrawiam
Marcin
Nawet tego nie zauważyłem. A może to linijka do mierzenia szerokości taśmy filmowej. Kiedyś były taśmy 8 mm. 🙂
„powiem tylko, że długość wektora nie jest funkcjonałem liniowym, a wszystkie inne funkcjonały wymienione w tym artykule są liniowe”
Panie Profesorze, funkcjonał I (całka oznaczona, piąty przyład) naprawdę jest liniowy ?
Tak, całka jest funkcjonałem liniowym, którego argumentem jest funkcja całkowalna $f\colon[a,b]\to\RR.$ Istotnie, niech $f,g\colon[a,b]\to\RR$ będą funkcjami całkowalnymi, zaś $\alpha,\beta\in\RR.$ Wtedy\begin{multline*}\I(\alpha f+\beta g)=\int\limits_a^b\bigl(\alpha f(x)+\beta g(x)\bigr)\dx=\\=\alpha\int\limits_a^b f(x)\dx+\beta\int\limits_a^b g(x)\dx=\alpha\ \I(f) +\beta\ \I(g).\end{multline*}