Las płonie szybko, rośnie powoli. Ten slogan kryje wiele prawdy. Oczywiście nie da się wyeliminować pożarów lasów. A są jeszcze w Polsce wielkie obszary leśne. Jak można zlokalizować pożar? Matematyka ma na to prostą, ale skuteczną odpowiedź.
Wiele lat temu, dokładnie w roku 1995, odwiedziłem rodzinę mieszkającą między Szczecinkiem a Słupskiem. Lasów tam pod dostatkiem. Co i rusz widać górujące wysoko nad terenem wieże. Są to pożarowe wieże obserwacyjne. Pewnego dnia wybrałem się na spacer na jedną z nich. Pracownik obsługujący wieżę był znajomym kuzynki, co pozwoliło na wejście na samą górę, czterdzieści metrów nad ziemią. Po odsapnięciu rozpoczęła się interesująca rozmowa. Zapytałem jak lokalizuje się pożar lasu. Okazuje się, że najzwyczajniej w świecie podaje się kąt, pod jakim widzi się pożar. Dziś zapewne są już inne technologie, ale tamta szczególnie przypadła mi do gustu.
Podanie kąta widzenia ustala nam jedynie kierunek – linię prostą, na której znajduje się punkt pożaru. Nie można go więc dokładnie zidentyfikować. Jednak wieże obserwacyjne rozmieszczone są dość gęsto i nietrudno o informację z drugiej wieży. Mamy więc już dwie proste. A takie, o ile nie są równoległe, przecinają się w jednym punkcie. W jakim? Właśnie w punkcie pożaru.
Tyle teoria. W praktyce, aby zminimalizować błąd obserwacji, dodatkowo podaje się informację z trzeciej wieży. Nie omieszkałem spytać jak dokładna jest taka metoda. Okazuje się, że do kilkuset metrów. Tyle w pożarnictwie wystarcza.
Poniższy rysunek ilustruje sposób lokalizacji pożaru. Oczywiście (bez straty dla idei, którą chcę przekazać) dokonuję znacznych uproszczeń zakładając, że linia łącząca obie wieże ma kierunek północ–południe. Podawany przez pracownika kąt wyznacza właśnie ta linia i linia łącząca oko obserwatora z punktem pożaru.
Traktując oś pionową jako oś odciętych (zwyczajowo oś $x$) nasze dwie wieże obserwacyjne mają współrzędne $(a,0)$ oraz $(b,0)$. Piszemy równania prostych $\ell_1,\ell_2$ odpowiednio w postaci $y=\tg\alpha\cdot(x-a)$ oraz $y=\tg\beta\cdot(x-b)$. Może się zdarzyć, że któryś z kątów $\alpha,\beta$ jest prosty. Jeśli np. $\alpha$ jest kątem prostym, to prosta $\ell_1$ ma równanie $x=a$. Rozwiązując odpowiedni układ równań (z niewiadomymi $x,y$; kąty $\alpha,\beta$ są znane) dokładnie lokalizujemy pożar.
Zadziwiające, że zwykła geometria analityczna ma zastosowanie w życiu codziennym, tutaj w pożarnictwie. Okazuje się, że podobna (może nie identyczna) zasada rządzi systemem GPS. Tutaj podaje się odległości lokalizowanego punktu od satelitów. Ale to już temat na inną opowieść.
W przypadku GPS jest o wiele ciekawiej bo trzeba uwzględnić zakrzywienie czasoprzestrzeni.