Wszyscy jesteśmy użytkownikami matematyki. Rachunek płacony w restauracji, zakupy w sklepie – wszystko wiąże się z koniecznością przeprowadzania rachunków. Jesteśmy jednak ludźmi i popełniamy błędy. Dlatego zarówno w matematyce, jak i w życiu, potrzebna jest umiejętność samokontroli. Powinniśmy sprawdzać każdy etap obliczeń. Szczególnie wtedy, gdy przeprowadzamy je używając kalkulatora czy arkusza kalkulacyjnego. Dostrzeżenie możliwości pomyłki jest nieodzownym elementem matematycznego doświadczenia.
Na dzisiejszych zajęciach z analizy matematycznej wyznaczałem środek ciężkości jednorodnego deltoidu o wierzchołkach $(0,2),(1,3),(4,2),(1,1)$. Otrzymałem odciętą $x_c=\frac{2}{3}$. Oczywiście rzędną jest $y_c=2$, bo nasz deltoid ma poziomą oś symetrii. Zdrowy rozsądek wskazuje na to, że środek ciężkości leżałby za bardzo na lewo. A dokładniej, pokryłby się ze środkiem ciężkości jednego z trójkątów, na jaki można podzielić deltoid. To ewidentnie niemożliwe. Ten moment jest bardzo ważny: uświadomienie sobie, że otrzymane wyniki nie są zgodne z intuicją i doświadczeniem.
Jaki popełniłem błąd? Czasem bardzo trudno do tego dojść. Chwila zastanowienia pozwoliła spostrzec, że wykonałem następujące działanie: $\frac{2}{3}+6=\frac{8}{3}$. Nikt nie jest od tego wolny. Najgorszą rzeczą jest powiedzieć: skoro tak wychodzi, to na pewno środek ciężkości leży w tym miejscu. Niedobrze jest podpierać błędne wyniki autorytetem profesora i długoletnią pracą. Tak mówię studentom ku ogólnej uciesze.
Jak nabyć umiejętność zauważania własnych błędów? To długotrwały proces. Po prostu trzeba liczyć, liczyć i liczyć. Rozwiązać wiele zadań, aby nabyć wyobrażenia o możliwych wynikach. Ale także pokora. Łatwo pomylić się, jeśli za dużo liczymy w pamięci. Dlatego nie upraszczajmy zbytnio naszych rachunków tylko dlatego, że wydaje nam się, że umiemy je sprawnie przeprowadzać. To rutyna. Najgorsza rzecz, jaka może przydarzyć się zawodowcowi.
„… rutyna. Najgorsza rzecz, jaka może przydarzyć się zawodowcowi”.
Nabierzmy nawyków kontroli poprawności rachunków przez szacowanie wyniku. $6+\frac{2}{3}$ to ciut mniej niż siedem. Osiem trzecich to mniej niż trzy. Widać różnicę a zatem i potrzebę sprawdzenia poprawności wykonania rachunku. W obliczeniach wielkości fizycznych bardzo przydatna jest kontrola wymiaru obliczanej wielkości fizycznej. Jeżeli droga ma w wyniku wykonanych działań rachunkowych wymiar fizyczny [m]+ [ km/min] to nie tylko rachunki są do luftu ale też i przekształcenia równań użytych do nich. Jednym słowem, mieć pewność ale po sprawdzeniu poprawności.
Owszem, często sprawdzam jednostki. Szkoda tylko, że gdy zauważam swój błąd i pytam studentów, gdzie go popełniłem, rzadko potrafią go zlokalizować. Wtedy opowiadam co mi się nie zgadzało i dlaczego w ogóle uświadomiłem sobie, że ten błąd miał miejsce.
Także poprawne rachunki mogą prowadzić do nonsensów. Np. przybliżając sinusa wzorem Maclaurina można dojść do tego, że $\sin 10\approx 10\pm\frac{1000}{6}$, więc $\sin 10$ to jakieś $10$ z dokładnością do ok. $170$. Jak bzdurne to przybliżenie – nie trzeba przekonywać. Powód: argument $10$ radianów leży zbyt daleko od zera, aby przybliżenie było sensowne. Dla – powiedzmy – kąta $0{,}1$ radiana, czyli ok. $5{,}73^{\circ}$, mamy $\sin 0{,}1\approx {0,1}\pm \frac{0,001}{6}$, co jest całkiem niezłym przybliżeniem. Dla kąta $0,01$ radiana czyli ok. pół stopnia, dokładność przybliżenia jest już rewelacyjna: $\frac{0,000001}{6}<10^{-5}$.
Fajny artykuł. Pozdrowionka!
Też tak czasem miewam. Często błąd znajduję dopiero po dłuższej przerwie (następnego dnia).
Może ja zacznę od końca. Rutyna zgubiła kogoś tutaj
\begin{align*}
x&=\frac{(\pi+3)}{2}\\
2x&=\pi+3\\
2x(\pi-3)&=(\pi+3)(\pi-3)\\
(2\pi)x-6x&=(\pi)^{2}-9\\
9-6x&=(\pi)^{2}-(2\pi)x\\
9-6x+x^{2}&=(\pi)^{2}-(2\pi)x+x^{2}\\
(3-x)^{2}&=(\pi-x)^{2}\\
3-x&=\pi-x\\
\pi&=3
\end{align*}
to jako ciekawostka.
Powiem o innego rodzaju rutynie – rutynie, która zdarza się w dziedzinach silnie powiązanych z matematyką (dlatego, że wykorzystują matematykę). Pewnego rodzaju rutyną np. w statystyce jest bezkrytyczne przyjmowanie wszystkiego co napisane jest w podręcznikach. Na przykład niektórzy podają, że w przypadku dużej próby należy zrezygnować z zastosowania testu $t$-Studenta na rzecz rozkładu normalnego. W obecnych czasach gdy za pomocą komputerów tzw. „moce obliczeniowe” zwiększyły się – do dużej próby można też stosować rozkład $t$-Studenta. Jakie są tablice obu rozkładów wiadomo. W przypadku normalnego w „boczku” i „główce” tabeli są kwantyle, zaś w środku (w tabeli) całki wyznaczające pola pod krzywą normalną. W rozkładzie t-Studenta jest inaczej – w „boczku” tabeli są stopnie swobody zaś w środku kwantyle. W zasadzie gdy $n>30$, rozkład $t$-Studenta niewiele różni się od rozkładu normalnego, więc w zadaniach przyjmuje się wartości z tablicy rozkładu normalnego – nie jest to błąd, lecz nie jest błędem również zastosowania w tym przypadku rozkładu t- studenta. Problemem kiedyś było odnalezienie odpowiedniego kwantyla przy dużej próbie a tym samym przy dużej liczbie stopni swobody – i tyle. Teraz takich problemów nie ma. Jeśli ktoś jest ciekaw, mam fajny plik, który można wykorzystać w formie ćwiczeń z tego zakresu.
To samo mówię o rozkładzie $t$-Studenta na swoich wykładach ze statystyki. Podałaś bardzo ładny przykład – dziękuję. Może ze względu na późną porę, ale długo szukałem błędu.
W tym przykładzie łatwiej znaleźć błąd:
\begin{align*}
-1&=-1\\
\frac{-1}{1}&=\frac{-1}{1}\\
\frac{-1}{1}&=\frac{1}{-1}\\
\sqrt{\frac{-1}{1}}&=\sqrt{\frac{1}{-1}}\\
\frac{i}{1}&=\frac{1}{i}\\
i&=\frac{1}{i}\\
i^{2}&=1\\
-1&=1
\end{align*}
Inny błąd:
Można udowodnić, że jeden kot ma $9$ ogonów. Jeżeli żaden kot ma $8$ ogonów, a jeden kot ma o $1$ ogon więcej niż żaden kot, to jeden kot ma $8+1=9$ ogonów.
W matematyce często również zawodzi intuicja. Może ktokolwiek pamięta grę, którą prowadził Zygmunt Chajzer ,,Idź na całość”. W $3$ bramkach rozmieszczone są $2$ Zonki i nagroda – w każdej bramce po jednej rzeczy. Pierwsza decyzja nie jest trudna, bo każdy wybór daje identyczną szansę na wygraną. Wybieramy jedną z bramek. Pan Zygmunt otwiera jedną z pozostałych (wie, że jest tam zonk) i jest tam zonk. Pozostają dwie bramki – ta wybrana i ta nie wybrana. Pan Zygmunt pyta: ,,Czy chcesz zmienić swój wybór?” Jeśli pomyślimy, że nasze szanse w obu przypadkach są takie same będziemy w błędzie. Czasem warto się zastanowić kilka razy – intuicja jest zawodna – rzeczywiście trzeba spojrzeć na problem bardziej krytycznie.
Nie za bardzo rozumiem zdanie ,,żaden kot ma $8$ ogonów”.
Główna część wpisu traktuje o paradoksie więźnia. Na nim to oparty był teleturniej.
Gdzie wykonano niepoprawne przejścia w dwóch komentarzach powyżej?