Prawdziwe piękno tkwi w prostocie. Piękne i doniosłe pomysły naukowe są niezmiernie proste, ale żeby na nie wpaść, trzeba prawdziwego geniuszu. Piękno matematyki nie jest więc dostępne każdemu. Aby je dostrzec, trzeba matematykę dobrze poznać. A czy nie jest tak również z pięknymi kobietami? Czemu matematyka jest rodzaju żeńskiego, a uprawia ją więcej mężczyzn niż kobiet?

Zobaczmy na ten zegarek ogólnie znanej marki. Prosty wygląd, aż miło patrzeć. A cena? Może nie porażająca, ale ponad 1000 zł. Nie każdego więc na niego stać. Zegarek ma wszystko co trzeba i nic ponadto. Służy do odmierzania czasu.
Na dzisiejszym wykładzie z algebry chciałem zilustrować sposób prowadzenia rachunków na iloczynach skalarnych wektorów. Postanowiłem udowodnić w tym celu nierówność Schwarza. Sama nierówność ma wiele zastosowań w matematyce i poza nią. Jej klasyczny dowód uważam za piękny z powodu prostoty.
Niech $X$ będzie przestrzenią unitarną (rzeczywistą). Iloczyn skalarny wektorów $x,y\in X$ oznaczmy przez $x\circ y$. Niech $t\in\RR$. Ponieważ\[0\xle\|x-ty\|^2=(x-ty)\circ(x-ty)=\|x\|^2-2t(x\circ y)+t^2\|y\|^2\,,\]to trójmian kwadratowy $t^2\|y\|^2-2t(x\circ y)+\|x\|^2$ jest nieujemny dla każdego $t\in\RR$. Oznacza to, że jego wyróżnik jest niedodatni:\[\Delta=4(x\circ y)^2-4\|x\|^2\cdot\|y\|^2\xle 0\,.\] Mamy więc $(x\circ y)^2\xle \|x\|^2\cdot\|y\|^2$, co po obustronnym spierwiastkowaniu daje nierówność Schwarza:\[\lvert x\circ y\rvert\xle \|x\|\cdot\|y\|\,.\]
Jedna z ważniejszych nierówności matematyki ma tak prosty dowód wykorzystujący jedynie własności trójmianu kwadratowego. Czy to nie piękne? Czy dostrzeżenie tego piękna jest dane studentom? Może niektórym. Gdy powiedziałem na wykładzie, że piękno matematyki tkwi w jej prostocie, spotkałem się z dziwnymi spojrzeniami słuchaczy. Czy to naprawdę łatwe? Chyba nie – mówiły ich oczy. Żeby dostrzec matematyczne piękno prostoty, trzeba królową nauk zgłębiać przez ileś lat, a potem smakować. Estetyka, pierwiastek piękna. Element konieczny i potrzebny w wielu dziedzinach nauki.
Praca Szymku. To co pokazałeś dla mnie jest absolutnie niezrozumiałym ciągiem. Raz jeszcze jednak trafia mnie to, że by dostrzec prostotę i piękno, potrzebny jest ogrom pracy. Ciekawe że jest tak samo w przypadku matematyki, języków czy aktywności fizycznej. Czas włożony i praca dają nam szansę na zobaczenie pewnej synergii. Piszę z Kapsztadu. Nie byłbym sobą gdybym będąc tu nie 'grzebnął’ w miejscowym języku. Afrikaans. Jak ciekawie zbiega się w nim prostota angielskiego, niemiecki szyk zdania i zeskanowanie w dół holenderskiego. Wiedza, włożona praca i wrażliwość na pewien obszar dają nam tę chwilę złudną zachwytu gdy wydaje nam się że dotykamy czegoś co leży 'pod spodem’.
Sławku, doskonale wyczułeś moją intencję. Piękno tego dowodu może zrozumieć ktoś, kto nieco matematyki już liznął. Nie wiem czy na to piękno nie mają też wpływu głębokie zastosowania omawianej nierówności. Tzn. jej wielka użyteczność powoduje, że jest ona zauważana i szeroko znana.
A można prosić o większy wywód na ten temat ? ? 😉 Choćby w postaci nagrania wideo żeby łatwiej było przygotować ? ?
Na dziś odpowiadam, że się zastanowię. Wideo nie nagrywam z powodu swoich braków technicznych. Sprawę poszerzenia wywodu przemyślę. Pozdrawiam serdecznie.
Z innej bajki…
Jeśli można oczywiście.
Mam poważne pytanie:
Jak to jest z tym dzieleniem przez zero?
Kalkulatory na takie działanie zwykle odpowiadają „błąd”; jednak ostatnio jeden z nich (w Androidzie) pokazał jako wynik [nieskończoność]. Ostatnio zadałem to pytanie emerytowanej nauczycielce matematyki i też powiedziała: nieskończoność.
Jeśli to prawda, to czy chodzi o postulat, czy ma to jakiś konkretny sens?
Jeśli będziemy rozważali dzielenie $\dfrac{1}{x}$ dla dodatnich $x$ bliskich zeru, to w granicy otrzymamy rzeczywiście nieskończoność. Jeśli rozważymy $x<0$, to granicą będzie $-\infty$. Więc omawiane wyrażenie nie ma granicy przy $x\to 0$. Tak więc wynik ,,błąd'' jest poprawny. Z nieskończonością byłbym ostrożny.