W moim cyklu o liczeniu pieniędzy przedstawiłem plany spłaty kredytów w ratach równych i w ratach malejących. Dziś – w ostatnim odcinku cyklu – zanalizuję, który plan jest korzystniejszy dla kredytobiorcy (czyt. tańszy).
Od zarania dziejów ludzie wymieniali się towarami. Za chleb płacili płótnem (dokładniej płatami płótna, stąd polskie słowo płacić), za zboże – dajmy na to – krowami itp. To handel wymienny. Łatwiej jednak było wprowadzić pewien abstrakcyjny towar zwany pieniądzem. Tak! Pieniądz to towar, a handel w dalszym ciągu jest wymienny: nabyte dobra wymieniamy na pieniądze. Jaki więc problem, aby za wypożyczenie pieniędzy płacić pieniądzem? Towar za towar – stąd biorą się kredyty. Odsetki są opłatą za wypożyczenie pieniędzy, których obecnie ich nie mamy. Chcąc posiadać jakieś dobro szybciej niż zdobędziemy środki potrzebne na jego kupno, nabywamy te środki w banku.
Jak pojmować cenę kredytu? Jednym z ujęć jest nominalne. Za koszt kredytu uznajemy sumę spłaconych odsetek. Dłużnik widzi, ile pieniędzy wycieka mu z portfela oprócz spłacanego kapitału. Dlatego wyznaczymy poniżej sumy odsetek spłaconych w obu planach spłaty: w ratach równych i malejących.
Sumę wszystkich odsetek można interpretować jako sumę wszystkich spłaconych rat pomniejszoną o pożyczony kapitał. W modelu rat równych (o wysokości $A$) łączne odsetki mają więc wartość\[I_1+I_2+\dots+I_n=nA-L\,,\]gdzie $n$ jest liczbą rat, a $L$ kwotą kredytu. Biorąc pod uwagę wzór na równą ratę (zob. wzór (3) z piątej części tego cyklu, łatwo dochodzimy do szukanej sumy odsetek:\[
I_1+\dots+I_n=nA-L=nL\frac{q^n(q-1)}{q^n-1}-L=L\biggl[\frac{nq^n(q-1)}{q^n-1}-1\biggr]\,.\]Oczywiście $q=1+r$, gdzie $r$ jest roczną (lub ogólniej okresową) stopą procentową.
W modelu rat malejących odsetki za kolejne okresy mają wartość\[I_k=\frac{L}{n}(n-k+1)r\quad\text{dla }k=1,\dots,n\](zob. szóstą część tego cyklu). Biorąc pod uwagę wzór na sumę $n$ początkowych liczb naturalnych\[1+2+\dots+n=\sum_{k=1}^n k=\frac{n(n+1)}{2}\]łatwo obliczamy sumę odsetek\begin{align*}I_1+\dots+I_n&=\sum_{k=1}^n I_k=\sum_{k=1}^n\frac{L}{n}(n-k+1)=\frac{L}{n}r\sum_{k=1}^n\bigl((n+1)-k\bigr)=\\&=\frac{L}{n}r\biggl(\sum_{k=1}^n(n+1)-\sum_{k=1}^n k\biggr)=\\&=\frac{L}{n}r\biggl(n(n+1)-\frac{n(n+1)}{2}\biggr)=Lr\frac{n+1}{2}=L(q-1)\frac{n+1}{2}\,.\end{align*}
Reasumując, nominalnym kosztem kredytu spłacanego w ratach równych jest\[L\biggl[\frac{nq^n(q-1)}{q^n-1}-1\biggr]\,,\]a w ratach malejących\[L(q-1)\frac{n+1}{2}\,.\]
Czas na małą symulację. Kredyty celowe (przeznaczone na realizację konkretnych celów) nie są zbyt mocno oprocentowane. Dlatego rozważymy kredyt w wysokości 10 000 000 zł spłacany w 20 ratach rocznych. Według powyższych wzorów koszt w modelu rat równych to 6 048 517,44 zł, a w modelu rat malejących to 5 250 000 zł. Różnica obu kosztów to 798 517,44 zł. Za taką kwotę można wybudować całkiem pokaźny dom (wracam tu myślą do drugiej części cyklu, gdzie mówiłem o zaokrąglaniu stóp procentowych i domu niewielkim).
Zwracajmy więc baczną uwagę na proponowane przez banki sposoby spłaty kredytów.
Żeby jednak mieć kompletny obraz sytuacji warto napisać ile wynoszą pierwsze raty dla obu modeli.
Zostawię to Czytelnikom jako ćwiczenie sprawdzające zrozumienie cyklu.