Matematyka jest nauką łatwą i przyjemną. Kto zgodzi się z takim przewrotnym stwierdzeniem? Owszem, jest łatwa, jeśli ją zrozumieć. A droga do zrozumienia bywa często długa. Co można więc powiedzieć o sztuce zrozumienia w matematyce?
Osobiście rozróżniam dwa rodzaje zrozumienia: formalne i dogłębne.
Zrozumienie formalne to poznanie przyjętych oznaczeń, definicji pojęć oraz wypowiedzi podstawowych twierdzeń bez umiejętności ich analizy ani zastosowania w rozumowaniach czy praktyce. To tak, jakby nauczyć się wiersza na pamięć. Można więc operować symbolami oraz rozwiązywać proste zadania. Jednak gdyby zapytać osobę rozumiejącą formalnie o to, na czym polega dany wzór, co by się stało gdyby zwiększyć jedną z występujących w nim wielkości itp., odpowiedzi nie sposób uzyskać. Studenci znają ze szkoły pojęcie funkcji liniowej. Pytam ich czym jest podatek liniowy. Słusznie mówią, że chodzi o jeden próg podatkowy. Ale jak obliczyć taki podatek? Tego już nie wiedzą. A zdrowy rozsądek nakazuje skojarzyć podatek liniowy z funkcją liniową. Uzyskanie odpowiedzi (przy stawce podatku $18\%$), że podatek obliczamy według wzoru\[\text{podatek}=0{,}18\cdot\text{dochód}\]jest niemożliwością. Jeszcze gorzej będzie z interpretacją innego wzoru (też dotyczącego podatku liniowego):\[\text{podatek}=0{,}18\cdot\text{dochód}-900.\]Czym jest to $900$ (dane są tutaj umowne)?
Zrozumienie dogłębne to zrozumienie formalne powiększone o umiejętność analizy, wyciągania wniosków, dostrzegania analogii. Można nie tylko rozwiązywać proste i trudne zadania, ale proponować nowe zastosowania teorii. Rozumieć dogłębnie to czuć duszą i ciałem, całą istotą swojego umysłu. Osoba pragnąca zrozumieć dogłębnie zadaje pytania nie o to, co napisano na tablicy, lecz rzeczowe. Na jednym z wykładów zdefiniowałem macierz odwrotną do macierzy kwadratowej $A$ jako taką macierz $A^{-1}$ , że $A\cdot A^{-1}=\I$ (gdzie $\I$ oznacza macierz jednostkową). W tym momencie student przerywa mój wywód i mówi: przecież niedawno powiedział Pan, że mnożenie macierzy nie jest przemienne. Czy nie trzeba więc założyć, że także $A^{-1}A=\I$? Odpowiedziałem, że można wykazać, że jeśli istnieje taka macierz $B$, że $AB=\I$, to także $BA=\I$.
Wrócę jeszcze do sprawy podatku. Mamy tu\[\text{podatek}=0{,}18\cdot\text{dochód}-900=0{,}18\cdot(\text{dochód}-5000),\]skąd jasno widać, że kwota $5000$ zł nie jest objęta opodatkowaniem, a podatek naliczamy od nadwyżki ponad kwotę wolną od opodatkowania. Osoba ze zrozumieniem dogłębnym bez najmniejszego problemu dokona tego rodzaju interpretacji, a ponadto zaproponuje sposób obliczania podatku przy różnych progach podatkowych.
Czy zrozumienie formalne jest czymś gorszym od dogłębnego? Nie zawsze. Jestem specjalistą w zakresie analizy wypukłej i wiele pojęć z jej zakresu rozumiem dogłębnie. Natomiast w rachunku tensorowym (którego się obecnie uczę) nie mam ani zrozumienia formalnego. Każdy jest specjalistą w swojej dziedzinie (dogłębnie), ale też musi mieć wiedzę (formalną) w zagadnieniach pokrewnych. Zrozumienie formalne jest więc niezbędną tabliczką mnożenia.
Katolicy przystępujący do Sakramentu Pojednania rozróżniają dwa rodzaje żalu za grzechy: mniej doskonały (formalny, wystarczający do uzyskania rozgrzeszenia) oraz doskonały (dogłębny). Od wielu lat mam tę analogię przed oczami. Ale to już kwestia teologii, nie matematyki.
Często, by zrozumieć problem dogłębnie potrzebna jest pomoc Mistrza a tę można mieć tylko w kontaktach osobistych. Stąd tak ważnym jest ów kontakt i jego życzliwość.
Aby być mistrzem, trzeba rozumieć dogłębnie. Wcześniej niż uczeń. Do dziś uprawia się naukę w kontakcie osobistym. Czemu ciągle jeździmy na konferencje, skoro wszystko może załatwić Internet? Bo nic nie zastąpi kontaktu z żywym słowem.
„Bo nic nie zastąpi kontaktu z żywym słowem.”
I coś tu jest takiego metafizycznego. Te same słowa, w tym samym szyku, dobrze czytelne, a jednak nie takie jak słyszane. I tak pewnie pozostanie.