Kostka do gry

Czego naprawdę potrzeba w rachunku prawdopodobieństwa?

Wielu ludziom rachunek prawdopodobieństwa słusznie kojarzy się z obliczaniem szansy wyrzucenia szóstki na kostce do gry czy wygrania w Lotto. Przecież ten dział matematyki wziął początek w analizie gier hazardowych. Na kostce jest sześć ścian, a tylko na jednej szóstka. Więc szansa wyrzucenia szóstki wynosi jeden do sześciu i o co kruszyć kopie? Można więc odnieść wrażenie, że w całym rachunku prawdopodobieństwa nie potrzeba zaawansowanej matematyki. Czy na pewno?

Te elementy rachunku prawdopodobieństwa, których naucza się w szkole średniej, rzeczywiście nie wymagają jakiejś zaawansowanej wiedzy matematycznej, a jedynie zdrowego rozsądku. Wystarczy zdać sobie sprawę, ile jest wszystkich możliwych wyników doświadczenia losowego, które analizujemy i ile jest wyników, które z jakiegoś względu nas interesują. Np. jeśli dwukrotnie rzucamy monetą, to mamy cztery możliwe wyniki: OO, OR, RO oraz RR (O oznacza orła, zaś R reszkę). Tak więc prawdopodobieństwo wyrzucenia co najmniej jednego orła wynosi $\frac{3}{4}$, bo co najmniej jeden orzeł pojawia się w trzech wynikach: OO, OR oraz RO. W podobny sposób można rozwiązać większość zadań maturalnych. Istotą jest posłużenie się klasycznym schematem prawdopodobieństwa, w którym istnieje tylko skończenie wiele wszystkich możliwych wyników analizowanego doświadczenia losowego (tzw. zdarzeń elementarnych). Obliczamy teraz, ile zdarzeń elementarnych odpowiada zdarzeniu, którego prawdopodobieństwo chcemy obliczyć (ile jest zdarzeń sprzyjających) i obie liczby dzielimy przez siebie.

Szkolnemu kursowi wymyka się już następujące (nietrudne dla matematyka) zadanie: rzucamy kostką do gry do momentu wypadnięcia szóstki. Jaka jest średnia liczba rzutów potrzebnych do wypadnięcia szóstki? Tu intuicja mówi, że trzeba rzucić kostką sześć razy. Istotnie, aby mogły pojawić się wszystkie możliwe wyniki rzutu kostką, potrzeba co najmniej sześciu rzutów. Inną sprawą jest, w którym rzucie szóstka wypadnie i czy w ogóle wypadnie w pierwszych sześciu rzutach. Ale gdyby tę zabawę powtarzać codziennie notując numer rzutu, w którym szóstka pojawiła się po raz pierwszy, okaże się, że średnia arytmetyczna tych numerów będzie bliska właśnie sześciu. Kto nie wierzy, niech wykona serię powiedzmy 20 doświadczeń.

Cóż tutaj dziwnego i dlaczego ten problem nie jest możliwy do analizy szkolnej? Otóż co to znaczy, że kończymy rzucanie kostką? Moment zakończenia doświadczenia nie jest z góry znany i teoretycznie możliwym jest, że szóstka w ogóle nie wypadnie. Tak więc zdarzeniem elementarnym jest każdy nieskończony ciąg liczbowy o wyrazach ze zbioru $\{1,2,3,4,5,6\}$. Np. ciąg $(4,1,3,2,5,3,2,6,5,2,1,5,6,4,2,3,1,2,\dots)$ oznacza, że szóstka po raz pierwszy wypadła dopiero w ósmym rzucie. Co dzieje się dalej? My doświadczenie kończymy, ale w teorii trwa ono dalej, rzucamy kostką w nieskończoność, lecz nie interesują nas już dalsze wyniki rzutów, bo zanotowaliśmy już numer rzutu, w którym szóstka wypadła po raz pierwszy. Tego rodzaju ciągów jest nieskończenie wiele. Można nawet udowodnić, że jest ich w pewnym sensie tyle samo, ile jest wszystkich liczb rzeczywistych. Tak więc obliczanie ilorazu liczby zdarzeń sprzyjających przez liczbę zdarzeń elementarnych z góry skazane jest na porażkę. Jak więc to zrobić?

Innym ciekawym problemem, często pojawiającym się w życiu, jest zadanie o spotkaniu. Dwóch kolegów umawia się w jakimś miejscu pomiędzy 12:00, a 13:00. Ale nic konkretniejszego. Wiadomo tylko tyle, że każdy z nich przychodzi na spotkanie w losowo wybranej chwili. Ten, który przybędzie jako pierwszy, czeka co najwyżej 10 minut i odchodzi. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że dojdzie do spotkania? Okazuje się, że wynosi ono $\frac{11}{36}$. Dlaczego? Tu znowu mamy w godzinie nieskończenie wiele chwil.

I ostatni przykład: autobus pewnej linii odjeżdża z przystanku regularnie co 20 minut. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że pasażer, który właśnie przybył na przystanek, będzie oczekiwał na autobus co najwyżej 5 minut? Tu odpowiedzią jest $\frac{1}{4}$, ale jak to ściśle wyjaśnić?

Okazuje się, że ta część rachunku prawdopodobieństwa, która zajmuje się nieskończonymi zbiorami zdarzeń elementarnych, jest doskonałą szkołą analizy matematycznej. Znajdziemy tu sumy szeregów potęgowych (średni numer rzutu, w którym szóstka wypada po raz pierwszy), konieczność obliczenia pola figury (zadanie o spotkaniu), a nawet całki (zadanie o autobusie). Pojawiają się zdarzenia niepewne zachodzące z prawdopodobieństwem 1, a także zdarzenia możliwe zachodzące z zerowym prawdopodobieństwem. A to dopiero początek. Nowoczesna teoria prawdopodobieństwa oparta jest na teorii miary, angażuje również liczby zespolone, transformaty Fouriera, elementy topologii, analizy funkcjonalnej, …

Sam rachunek prawdopodobieństwa znajduje poważne zastosowanie w statystyce, a ta z kolei jest jednym z potężniejszych narzędzi data science. Tą dziedziną zajmuje się coraz więcej ludzi, więc i potrzeba znajomości zaawansowanej matematyki jest coraz powszechniejsza. Nie pytajmy więc, po co te pochodne i całki. Pytajmy raczej co zrobić, żeby się ich nauczyć.

4 komentarze

  • Witaj,
    a podasz analityczne rozwiązania? Bo tego typu zadania można również rozwiązać technikami symulacyjnymi. Trzeba zbudować generator liczb pseudolosowych (dyskretny lub ciągły) o odpowiednim rozkładzie. Zawsze studenci dziwili się, gdy w takich sytuacjach prosiłem ich aby nacisnęli na swoich kalkulatorach przycisk RAND (albo RND) tudzież wpisali w Excelu =LOS() i za każdym razem dostawali inne wyniki. Chyba żaden student nigdy mi nie odpowiedział o co tym w tym chodzi.
    Ja próbowałem ocenić prawdopodobieństwo, że pasjans „wyjdzie” grając w niego '”nieskończenie” wiele razy (tak naprawdę n razy) i oceniać ile razy „wyszedł”, bo obliczenie tego analitycznie jest chyba dość zawiłe, chociaż jest zdeterminowane regułami przekładania kart. Przy okazji mógłbyś wspomnieć o prawie wielkich liczb Bernoullego, metodzie Monte Carlo (S. Ulam) itp..
    A przy tym zadaniu z autobusem nie trzeba by wyraźnie zaznaczyć, że pasażer nie wie, kiedy przyjeżdża autobus (nie zna rozkładu jazdy)? Bo jak będzie wiedział, że np. o 13:00, 13:20, 13:40, itd. będzie „celował” na chwilę tuż przed odjazdem autobusu i wtedy prawdopodobieństwo nie będzie 5/20 = 1/4. Podobne zadanie analizował Amir Aczel w książce „Prawdopodobieństwo = 1”. Już niestety nie pamiętam dokładnie do jakich wniosków doszedł, ale o ile sobie przypominam to rozkład prostokątny (jednostajny, równomierny – jak zwał, tak zwał) to mu nie za bardzo pasował do opisu zmiennej losowej o nazwie „czas oczekiwania”.

    • Marcinie, bardzo dziękuję za komentarz. Masz słuszność — należy założyć, że pasażer nie zna rozkładu jazdy autobusu.

      Podanie rozwiązań analitycznych nie mieści się w formule wpisu popularyzatorskiego. Wymaga to rozwinięcia pewnych technik analizy matematycznej, a co za tym idzie, systematycznego wykładu. Formuła takiego artykułu musi być gruntownie przemyślana.

      Pozdrawiam serdecznie.

  • Dzień dobry.
    Podczas korepetycji (najgorzej uczniowie radzą sobie z geometrią i właśnie rachunkiem prawdopodobieństwa) przy okazji zadań typu „Oblicz prawdopodobieństwo, że suma oczek uzyskanych podczas dwukrotnego rzutu kostką będzie mniejsza od 5” itp., stosuję następującą metodę. Pytanie. Ile można najmniej uzyskać oczek, jak rzucamy kostką 1-6? Dwa. Ile można najwięcej uzyskać? Dwanaście. Następnie rysuje coś w rodzaju osi liczbowej 2,3,…,12. Potem rysuję słupki do góry, przy 2 i 12 najkrótsze, przy 3 i 11 dłuższe, potem 4 i 10, 5 i 9, 6 i 8, na koniec 7. Pytanie? Dlaczego 7? Bo 1,6, 6,1, 2,5, 5,2, 3,4, 4,3. Dorysowuję krzywą rozkładu normalnego. Następnie pokazuję wykres, a uzyskanie mniej niż 4, 5, 6, to tak mniej więcej, mniej niż połowa pola, więcej? Potem przy słupkach, „na osi y” stawiam 1, 2, …, 6. Proszę o zsumowanie liczb 1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1. Krótka dygresja o rozkładzie normalnym w życiu, przyrodzie, i zadanie z sumą oczek mniejszą niż 5.

    • Dziękuję za ciekawy pomysł dydaktyczny. Zaciekawiło mnie to i sprawdziłem czy szereg słupków, (tzn. 1,2,3,4,5,6,5,4,3,2,1) przechodzi test normalności Shapiro-Wilka. Jak najbardziej przechodzi. Rzeczywiście można w tym przypadku mówić o rozkładzie normalnym.

      Oto wyniki z programu R:

      > shapiro.test(c(1,2,3,4,5,6,5,4,3,2,1))

      Shapiro-Wilk normality test

      data: c(1, 2, 3, 4, 5, 6, 5, 4, 3, 2, 1)
      W = 0.94496, p-value = 0.5805

      Wysoka p-wartość na poziomie 58% mówi o tym, że na sensownych poziomach istotności (a są nimi poziomy do maksymalnie 10%) brak podstaw do odrzucenia hipotezy o tym, że ten ciąg został pobrany z populacji o rozkładzie normalnym cechy.

Napisz komentarz