Czego naprawdę potrzeba w rachunku prawdopodobieństwa?

Wielu ludziom rachunek prawdopodobieństwa słusznie kojarzy się z obliczaniem szansy wyrzucenia szóstki na kostce do gry czy wygrania w Lotto. Przecież ten dział matematyki wziął początek w analizie gier hazardowych. Na kostce jest sześć ścian, a tylko na jednej szóstka. Więc szansa wyrzucenia szóstki wynosi jeden do sześciu i o co kruszyć kopie? Można więc odnieść wrażenie, że w całym rachunku prawdopodobieństwa nie potrzeba zaawansowanej matematyki. Czy na pewno?

Te elementy rachunku prawdopodobieństwa, których naucza się w szkole średniej, rzeczywiście nie wymagają jakiejś zaawansowanej wiedzy matematycznej, a jedynie zdrowego rozsądku. Wystarczy zdać sobie sprawę, ile jest wszystkich możliwych wyników doświadczenia losowego, które analizujemy i ile jest wyników, które z jakiegoś względu nas interesują. Np. jeśli dwukrotnie rzucamy monetą, to mamy cztery możliwe wyniki: OO, OR, RO oraz RR (O oznacza orła, zaś R reszkę). Tak więc prawdopodobieństwo wyrzucenia co najmniej jednego orła wynosi $\frac{3}{4}$, bo co najmniej jeden orzeł pojawia się w trzech wynikach: OO, OR oraz RO. W podobny sposób można rozwiązać większość zadań maturalnych. Istotą jest posłużenie się klasycznym schematem prawdopodobieństwa, w którym istnieje tylko skończenie wiele wszystkich możliwych wyników analizowanego doświadczenia losowego (tzw. zdarzeń elementarnych). Obliczamy teraz, ile zdarzeń elementarnych odpowiada zdarzeniu, którego prawdopodobieństwo chcemy obliczyć (ile jest zdarzeń sprzyjających) i obie liczby dzielimy przez siebie.

Szkolnemu kursowi wymyka się już następujące (nietrudne dla matematyka) zadanie: rzucamy kostką do gry do momentu wypadnięcia szóstki. Jaka jest średnia liczba rzutów potrzebnych do wypadnięcia szóstki? Tu intuicja mówi, że trzeba rzucić kostką sześć razy. Istotnie, aby mogły pojawić się wszystkie możliwe wyniki rzutu kostką, potrzeba co najmniej sześciu rzutów. Inną sprawą jest, w którym rzucie szóstka wypadnie i czy w ogóle wypadnie w pierwszych sześciu rzutach. Ale gdyby tę zabawę powtarzać codziennie notując numer rzutu, w którym szóstka pojawiła się po raz pierwszy, okaże się, że średnia arytmetyczna tych numerów będzie bliska właśnie sześciu. Kto nie wierzy, niech wykona serię powiedzmy 20 doświadczeń.

Cóż tutaj dziwnego i dlaczego ten problem nie jest możliwy do analizy szkolnej? Otóż co to znaczy, że kończymy rzucanie kostką? Moment zakończenia doświadczenia nie jest z góry znany i teoretycznie możliwym jest, że szóstka w ogóle nie wypadnie. Tak więc zdarzeniem elementarnym jest każdy nieskończony ciąg liczbowy o wyrazach ze zbioru $\{1,2,3,4,5,6\}$. Np. ciąg $(4,1,3,2,5,3,2,6,5,2,1,5,6,4,2,3,1,2,\dots)$ oznacza, że szóstka po raz pierwszy wypadła dopiero w ósmym rzucie. Co dzieje się dalej? My doświadczenie kończymy, ale w teorii trwa ono dalej, rzucamy kostką w nieskończoność, lecz nie interesują nas już dalsze wyniki rzutów, bo zanotowaliśmy już numer rzutu, w którym szóstka wypadła po raz pierwszy. Tego rodzaju ciągów jest nieskończenie wiele. Można nawet udowodnić, że jest ich w pewnym sensie tyle samo, ile jest wszystkich liczb rzeczywistych. Tak więc obliczanie ilorazu liczby zdarzeń sprzyjających przez liczbę zdarzeń elementarnych z góry skazane jest na porażkę. Jak więc to zrobić?

Innym ciekawym problemem, często pojawiającym się w życiu, jest zadanie o spotkaniu. Dwóch kolegów umawia się w jakimś miejscu pomiędzy 12:00, a 13:00. Ale nic konkretniejszego. Wiadomo tylko tyle, że każdy z nich przychodzi na spotkanie w losowo wybranej chwili. Ten, który przybędzie jako pierwszy, czeka co najwyżej 10 minut i odchodzi. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że dojdzie do spotkania? Okazuje się, że wynosi ono $\frac{11}{36}$. Dlaczego? Tu znowu mamy w godzinie nieskończenie wiele chwil.

I ostatni przykład: autobus pewnej linii odjeżdża z przystanku regularnie co 20 minut. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że pasażer, który właśnie przybył na przystanek, będzie oczekiwał na autobus co najwyżej 5 minut? Tu odpowiedzią jest $\frac{1}{4}$, ale jak to ściśle wyjaśnić?

Okazuje się, że ta część rachunku prawdopodobieństwa, która zajmuje się nieskończonymi zbiorami zdarzeń elementarnych, jest doskonałą szkołą analizy matematycznej. Znajdziemy tu sumy szeregów potęgowych (średni numer rzutu, w którym szóstka wypada po raz pierwszy), konieczność obliczenia pola figury (zadanie o spotkaniu), a nawet całki (zadanie o autobusie). Pojawiają się zdarzenia niepewne zachodzące z prawdopodobieństwem 1, a także zdarzenia możliwe zachodzące z zerowym prawdopodobieństwem. A to dopiero początek. Nowoczesna teoria prawdopodobieństwa oparta jest na teorii miary, angażuje również liczby zespolone, transformaty Fouriera, elementy topologii, analizy funkcjonalnej, …

Sam rachunek prawdopodobieństwa znajduje poważne zastosowanie w statystyce, a ta z kolei jest jednym z potężniejszych narzędzi data science. Tą dziedziną zajmuje się coraz więcej ludzi, więc i potrzeba znajomości zaawansowanej matematyki jest coraz powszechniejsza. Nie pytajmy więc, po co te pochodne i całki. Pytajmy raczej co zrobić, żeby się ich nauczyć.